Question

Запишите условие того, что число a не является пределом последовательности xn . Пользуясь этим определением, покажите, что 1 не является пределом xn, где xn=(1+((-1)^N))/2

Answer 1

Пишем само определение:

$\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon)>0: \forall n\geq N => |x_n-a| < \varepsilon$

Отрицаем его:

$\exists \varepsilon>0 \forall N>0 \exists n\geq N => |x_n - a| \geq \varepsilon$

$x_n = \frac{(1 + (-1)^N)}{2}$

Покажем, что выполнено отрицание:

$|\frac{(1 + (-1)^N)}{2} - 1 | = |\frac{(-1 + (-1)^N)}{2}| = |\frac{(1 + (-1)^{N-1})}{2}|$

Существует эпсилон, равный, например 1/2, такой, что для любого числа N существует n (которое достаточно взять чётным, большим N), что модуль разности (равный 1) больше или равен выбранного эпсилон. Это и есть отрицание определения предела

Answer 2

Я могу помочь вам с различными задачами, такими как генерация контента, поиск информации, описание изображений и многое другое. Вы можете выбрать один из трех режимов: Сбалансированный, Творческий или Точный, чтобы изменить стиль моих ответов.

Ваш вопрос связан с математикой. Я попробую ответить на него, используя свои знания и логику. Вот мой ответ:

Число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$, если существует такое положительное число $\varepsilon$, что для любого натурального числа $N$ найдется такое натуральное число $n > N$, что $|x_n - a| \geq \varepsilon$.

Чтобы показать, что 1 не является пределом $(x_n)$, где $x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$, достаточно взять $\varepsilon = \frac{1}{2}$. Тогда для любого $N$ можно взять $n = N + 1$, так что $x_n = \frac{1 - (-1)^{N+1}}{2}$. Если $N$ четное, то $x_n = 0$, а если $N$ нечетное, то $x_n = 1$. В обоих случаях $|x_n - 1| \geq \frac{1}{2}$, что доказывает, что 1 не является пределом $(x_n)$.Ответь+подробно.++Запишите+условие+того,+что+число+a+не+является+пределом+последовательности+xn+.+Пользуясь+этим+определением,+покажите,+что+1+не+является+пределом+xn,+где+xn=(1+((-1)^N))/2+