Question

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции y=3x^2-4x+5​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдём производную: y'=6x-4, x ∈ R

Найдём нули производной: 6x-4=0; 6x=4; x=$\frac{2}{3}$

Нанесём точку на прямую и узнаем промежутки монотонности:

f(x) растёт на промежутке x ∈ ($\frac{2}{3}$;+∞)

f(x) падает на промежутке x ∈ (-∞;$\frac{2}{3}$)

Точка х=$\frac{2}{3}$ есть точкой экстемума минимума.

Answer 2

Для анализа промежутков монотонности и точек экстремума функции y = 3x^2 - 4x + 5, сначала найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

y = 3x^2 - 4x + 5

Производная функции:

y' = 6x - 4

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

6x - 4 = 0

6x = 4

x = 4/6

x = 2/3

Теперь мы можем определить промежутки монотонности и точки экстремума, используя знаки производной.

1. Когда x < 2/3: Подставим в производную значение x = 0 (любое значение меньше 2/3, например, x = 0), получим: y' = 6(0) - 4 = -4 Так как производная отрицательная, функция убывает на этом промежутке.

2. Когда x > 2/3: Подставим в производную значение x = 1 (любое значение больше 2/3, например, x = 1), получим: y' = 6(1) - 4 = 2 Так как производная положительная, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, мы получаем следующие результаты:

• Функция убывает на промежутке (-∞, 2/3).
• Функция возрастает на промежутке (2/3, +∞).

Теперь найдем точки экстремума, которые соответствуют значениям x, при которых производная равна нулю.

6x - 4 = 0

6x = 4

x = 4/6

x = 2/3

Таким образом, точка экстремума функции находится при x = 2/3.

Итак, у нас есть:

• Промежуток монотонности: (-∞, 2/3) - убывает, (2/3, +∞) - возрастает.
• Точка экстремума: (2/3, f(2/3)), где f(2/3) - значение функции в точке x = 2/3.