Question

Найти неопределённый интеграл 5dx/ 16-x^2

Answer 1

смотрите фото..............

Answer 2

Чтобы найти неопределенный интеграл от $\frac{5x}{16-x^2}$, можно воспользоваться методом частных дробей. Давайте разложим данное выражение на простые дроби.

1. Начнем с факторизации знаменателя: $16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.
2. Теперь представим $\frac{5x}{16-x^2}$ в виде суммы двух дробей: $\frac{5x}{16-x^2} = \frac{A}{4-x} + \frac{B}{4+x},$ где $A$ и $B$ - некоторые константы, которые нужно найти.
3. Умножим обе части уравнения на $(4-x)(4+x)$, чтобы избавиться от знаменателей: $5x = A(4+x) + B(4-x).$
4. Раскроем скобки и сгруппируем одинаковые слагаемые: $5x = 4A + Ax + 4B - Bx.$
5. Сгруппируем слагаемые с $x$: $(A - B)x = 5x - 4A - 4B.$
6. Поскольку это верно для любого $x$, коэффициенты при $x$ должны быть равны: $A - B = 0 \quad \Rightarrow \quad A = B.$
7. Из выражения $5x - 4A - 4B = 0$ следует, что $A = B = \frac{5}{8}$.

Таким образом, разложение на простые дроби будет иметь вид: $\frac{5x}{16-x^2} = \frac{\frac{5}{8}}{4-x} + \frac{\frac{5}{8}}{4+x}.$

Теперь мы можем интегрировать каждую дробь по отдельности: $\int \frac{5x}{16-x^2} \, dx = \frac{5}{8} \int \frac{1}{4-x} \, dx + \frac{5}{8} \int \frac{1}{4+x} \, dx.$

Интегрируя, получим: $\int \frac{5x}{16-x^2} \, dx = \frac{5}{8} \ln|4-x| + \frac{5}{8} \ln|4+x| + C,$ где $C$ - произвольная постоянная.