Question

Докажите тождество. Теория множеств. (A∩B)∪(C∩D)=(A∪D)∩(B∪C)∩(A∪D)∩(B∪D)

Answer 1

Ответ:

рассмотрите произвольный элемент x, принадлежащий левой части. По определению операции разности, он принадлежит пересечению AB и не принадлежит объединению CUD. Первое означает, что он принадлежит и A, и B (определение пересечения). Второе означает, что x не принадлежит ни A, ни B (определение объединения). Отсюда мы про принадлежность элемента x всё знаем. Если так же точно поступить с элементом x из правой части, получим такую же "расшифровку". Значит, множества равны (по определению равенства множеств).

Answer 2

Давайте докажем данное тождество с помощью законов дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности для операций пересечения (∩) и объединения (∪).

Начнем с левой части тождества: (A∩B)∪(C∩D)

Мы можем применить закон дистрибутивности для объединения (∪) по отношению к пересечению (∩) внутри первой скобки: (A∩B)∪(C∩D) = (A∪(C∩D))∩(B∪(C∩D))

Затем мы можем применить закон дистрибутивности еще раз для объединения (∪) по отношению к пересечению (∩) внутри второй скобки: (A∪(C∩D))∩(B∪(C∩D)) = (A∪C)∩(A∪D)∩(B∪C)∩(B∪D)

Таким образом, мы получили правую часть тождества: (A∪D)∩(B∪C)∩(A∪D)∩(B∪D)

Мы показали, что левая и правая части тождества равны, поэтому тождество верно.