Question

В коробке лежат красные, синие и зелёные шарики. Если из неё достать 12 шариков, то среди них точно найдётся два красных. Если из коробки достать 11 шариков, то среди них точно найдётся три синих. Если из коробки достать 10 шариков, то среди них точно найдётся два зелёных. Какое наибольшее количество шариков может быть в коробке? Докажите, что больше быть не может.

Answer 1

Ответ:

11

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Предположим, что в коробке находится x красных, y синих и z зеленых шариков.

Из условия задачи мы знаем, что x + y + z = 12 (1) - общее количество шариков в коробке.

Также из условия задачи мы знаем, что x + (x-1) >= 2 (2) - среди 11 шариков точно найдется 2 красных, и y + (y-1) + (y-2) >= 3 (3) - среди 10 шариков точно найдется 3 синих, и z + (z-1) >= 2 (4) - среди 9 шариков точно найдется 2 зеленых.

Рассмотрим неравенства (2), (3) и (4): x + (x-1) >= 2 y + (y-1) + (y-2) >= 3 z + (z-1) >= 2

Решим данные неравенства: x + (x-1) >= 2 2x - 1 >= 2 2x >= 3 x >= 3/2 x >= 2 (5)

y + (y-1) + (y-2) >= 3 3y - 3 >= 3 3y >= 6 y >= 2 (6)

z + (z-1) >= 2 2z - 1 >= 2 2z >= 3 z >= 3/2 z >= 2 (7)

Из неравенств (5), (6) и (7) следует, что x >= 2, y >= 2, z >= 2.

Таким образом, наибольшее количество шариков в коробке равно 2 + 2 + 2 = 6.

Докажем, что больше быть не может.

Если в коробке будет больше 6 шариков, то хотя бы одно из неравенств (2), (3) или (4) будет нарушено, так как мы не сможем найти нужное количество шариков определенного цвета среди 11, 10 или 9 шариков соответственно.

Таким образом, наибольшее количество шариков в коробке равно 6.