Question

Обчисліть площу фігури, обмеже- ної лініями у = х2 - 2x, y = 2- х. -​

Answer 1

Ответ:

S=4,5

x^2-2x=2-x

x^2-x-2=0

x=-1  x=2

∫(x^2-x-2)dx=x^3/3-x^2/2-2x

8/3-4/2-4-(-1/3-1/2+2)=8/3-6+1/3+1/2-2=3-6+1/2-2=-4,5

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої цими лініями, спочатку потрібно знайти точки їх перетину. Зробимо це, прирівнявши рівняння ліній:

х^2 - 2x = 2 - х

Помножимо на -1 обидві частини рівняння і зведемо його до квадратного виду:

x^2 - 2x + x - 2 = 0

x^2 - x - 2 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня або факторизації:

(x - 2)(x + 1) = 0

Звідси маємо два розв'язки: x = 2 і x = -1.

Після знаходження точок перетину, можемо обчислити відповідні значення y:

Для x = 2: y = 2 - x = 2 - 2 = 0

Для x = -1: y = 2 - x = 2 - (-1) = 3

Таким чином, ми маємо дві точки: (2, 0) і (-1, 3).

Для обчислення площі фігури між цими лініями, можемо використовувати метод інтегрування. Площа фігури буде різницею площ під кривими y = х^2 - 2x та y = 2 - х від x = -1 до x = 2:

Площа = ∫[x=-1 to x=2] [(х^2 - 2x) - (2 - х)] dx

= ∫[x=-1 to x=2] (х^2 - 2x - 2 + х) dx

= ∫[x=-1 to x=2] (х^2 - x - 2) dx

Для обчислення цього інтегралу візьмемо антипохідну від виразу х^2 - x - 2:

∫(х^2 - x - 2) dx = (1/3)х^3 - (1/2)x^2 - 2x + C

Підставимо межі інтегрування:

Площа = [(1/3)(2)^3 - (1/2)(2)^2 - 2(2)] - [(1/3)(-1)^3 - (1/2)(-1)^2 - 2(-1)]

= [(8/3) - 2 - 4] - [(-1/3) - (1/2) + 2]

=