Question

Медианы треугольника abc пересекаются в точке о. прямая, параллельная ac, проходит через точку о и пересекает стороны ab и bc в точках m и p. найдите длину mp, если сторона ac равна 36 см. пожалуйста помогите решить, очень срочно

Answer 1

Ответ:

Отрезок EF отнюдь не является средней линией треугольника! Есть теорема: каждая медиана треугольника делится точкой их пересечения на 2 части, длины которых относятся как 2:1. То есть отрезок ВО в 2 раза больше отрезка OD. Рассмотрим два треугольника: основной ABC и верхний EBF.

Ясно, что они подобны. Всем известно, что в подобных треугольниках отношение длин сторон одного тр-ка к сторонам другого тр-ка - постоянная величина.. Но это же относится и к другим отрезкам, не только к сторонам. В частности, к медианам. Легко увидеть, чему равно отношение медиан ВO/BD = 2/3. Значит, и отношение оснований такое же: EF / 15 = 2/3

Отсюда EF = 10 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника, которое гласит: медиана делит сторону треугольника пополам.

Поскольку точка O является пересечением медиан треугольника ABC, она делит медиану из точки A на две равные части. Обозначим точку пересечения медианы из точки A с стороной BC как D. Таким образом, AD = DC.

Также, поскольку прямая MP параллельна стороне AC, она также делит сторону AC пополам. Обозначим точку пересечения прямой MP с стороной AC как E. Таким образом, AE = EC.

Теперь мы можем заметить, что треугольник AOE и треугольник CDO являются подобными, поскольку у них соответственные углы равны (угол OAE = угол OCD) и соответствующие стороны пропорциональны (AE/OC = AO/OD). Заметим также, что AO = OD, так как точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Исходя из подобия треугольников, мы можем записать следующее уравнение пропорции:

AE/OC = AO/OD

Поскольку AE = EC и AO = OD, уравнение пропорции принимает вид:

EC/OC = AO/AO

Так как AO = OD, уравнение упрощается до:

EC/OC = 1

Следовательно, EC = OC.

Итак, мы выяснили, что точка E является серединой стороны AC. Поскольку прямая MP также проходит через точку О, она также делит сторону AC пополам, и точка E также является серединой стороны MP.

Теперь мы можем записать:

ME = EP = PC = 1/2 * AC = 1/2 * 36 см = 18 см

Таким образом, длина MP равна 2 * ME = 2 * 18 см = 36 см.