Question

Треугольник АВС задан в прямоугольной системе координат пространства. Найдите: 1. Координаты всех векторов; 2. Периметр треугольника АВС; 3. Косинус всех углов треугольника; 4. Координаты середин всех сторон треугольника; 5. Координаты вектора p = 3AB + 2AC - 4ВС; А(-1;-3;1), В(2;4;4), С(6;-1;4)

Answer 1

Ответ:

1.Координаты всех векторов :

AB=(x2-x1;y2-y1)=(2-(-1);4-(-3))=(2+1;4+3)

=(3;7)

AC=(6-(-1);-1-(-3))=(6+1;-1+3)=(7;2)

BC=(6-2;-1-4)=(4;-5)

2.Периметр треугольника ABC:

P=а+b+c

для начала найдём длину векторов:

|АВ|=√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=

=√(2-(-1))^2+(4-(-3))^2=√3^2+7^2=
=√9+49=√58

|AC|=√7^2+2^2=√49+4=√53

|BC|=√4^2+(-5)^2=√16+25=√41

P=√58+√53+√41

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулы и свойства треугольника в прямоугольной системе координат. Давайте посмотрим на каждый пункт по отдельности.

1. Координаты всех векторов

Вектор можно определить как разность координат двух точек. Для нашей задачи, треугольник АВС задан следующими координатами:

А(-1,-3,1), В(2,4,4), С(6,-1,4)

Чтобы найти координаты вектора AB, мы вычитаем координаты точки А из координат точки В:

AB = В - А = (2,4,4) - (-1,-3,1) = (2+1, 4+3, 4-1) = (3,7,3)

Аналогично, чтобы найти координаты вектора AC, мы вычитаем координаты точки А из координат точки С:

AC = С - А = (6,-1,4) - (-1,-3,1) = (6+1, -1+3, 4-1) = (7,2,3)

Также, чтобы найти координаты вектора BC, мы вычитаем координаты точки В из координат точки С:

BC = С - В = (6,-1,4) - (2,4,4) = (6-2, -1-4, 4-4) = (4,-5,0)

Таким образом, координаты всех векторов: AB(3,7,3), AC(7,2,3), BC(4,-5,0).

2. Периметр треугольника АВС

Периметр треугольника можно найти, вычислив длины всех его сторон и сложив их.

Длина стороны AB: |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((2 - (-1))^2 + (4 - (-3))^2 + (4 - 1)^2) = √(3^2 + 7^2 + 3^2) = √(9 + 49 + 9) = √67

Длина стороны AC: |AC| = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2) = √((6 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2 + (4 - 1)^2) = √(7^2 + 2^2 + 3^2) = √(49 + 4 + 9) = √62

Длина стороны BC: |BC| = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2) = √((6 - 2)^2 + (-1 - 4)^2 + (4 - 4)^2) = √(4^2 + (-5)^2 + 0^2) = √(16 + 25 + 0) = √41

Периметр треугольника АВС: P = |AB| + |AC| + |BC| = √67 + √62 + √41

3. Косинус всех углов треугольника

Косинус угла между векторами можно найти с помощью скалярного произведения векторов и их длин:

Косинус угла между векторами AB и AC: cos(∠BAC) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = ((3,7,3) · (7,2,3)) / (√67 * √62)

Косинус угла между векторами AB и BC: cos(∠ABC) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|) = ((3,7,3) · (4,-5,0)) / (√67 * √41)

Косинус угла между векторами AC и BC: cos(∠ACB) = (AC · BC) / (|AC| * |BC|) = ((7,2,3) · (4,-5,0)) / (√62 * √41)

4. Координаты середин всех сторон треугольника

Для нахождения координат середины стороны треугольника, мы можем использовать формулу середины отрезка. Для каждой стороны треугольника, координаты середины будут равны средним значениям соответствующих координат точек.

Координаты середины стороны AB: (x, y, z) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2) = ((-1 + 2) / 2, (-3 + 4) / 2, (1 + 4) / 2) = (0.5, 0.5, 2.5)

Координаты середины стороны AC: (x, y, z) = ((x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2, (z1 + z3) / 2) = ((-1 + 6) / 2, (-3 + (-1)) / 2, (1 + 4) / 2) = (2.5, -2, 2.5)

Координаты середины стороны BC: (x, y, z) = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2, (z2 + z3) / 2) = ((2 + 6) / 2, (4 + (-1)) / 2, (4 + 4) / 2) = (4, 1.5, 4)

5. Координаты вектора p = 3AB + 2AC - 4BC

Чтобы найти координаты вектора p, мы можем использовать формулу линейной комбинации векторов.

p = 3AB + 2AC - 4BC = 3(3,7,3) + 2(7,2,3) - 4(4,-5,0) = (9,21,9) + (14,4,6) - (16,-20,0) = (7,5,15)

Таким образом, координаты вектора p = (7,5,15).

Теперь мы рассмотрели все пункты задачи и получили все необходимые ответы. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!