Question

Tan (4 · x + 1) = 1 sin ² () = 1Помогите найти все действительные решения для этих двух тригонометрических уравнений (интересует именно путь решения). Заранее спасибо за любую помощь.

Answer 1

Ответ:

1)tan(4*x+1)=1

Находим область допустимых значений

tan(4x+1)=1,x≠pi/8-1/4+kpi/4,kЄZ

С помощью единичный окружности находим на меньший положительный угол, тангенс которого равен 1

4x+1=pi/4

Поскольку функция тангенса периодична, прибавляем период kpi,kЄZ, чтобы найти все решения

4x+1=pi/4+kpi,kЄZ

Решаем уравнение относительно x

x=pi/16-1/4+kpi/4,kЄZ,x≠pi/8-1/4+kpi/4,kЄZ

Находим пересечение множества решений и области допустимых значений

x=-1/4+pi/16+kpi/4,kЄZ

Вычисляем приближенное значение

x≈-0,0536505+kpi/4,kЄZ

2)sin²(x/2)=1

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, помня об использовании положительных и отрицательных корней

sin(x/2)=±1

Разделяем уравнение на 2 возможных случая

sin(x/2)=-1

sin(x/2)=1

Решаем уравнение относительно x

Решаем первый случай:

x=3pi+4kpi,kЄZ

sin(x/2)=1

Решаем второй случай:

x=3pi+4kpi,kЄZ

x=pi+4kpi,kЄZ

Находим объединение:

x=pi+2kpi,kЄZ

Answer 2

Давайте начнем с первого уравнения:

tan(4x + 1) = 1

Чтобы найти все действительные решения этого уравнения, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. В данном случае, мы можем воспользоваться арктангенсом:

4x + 1 = arctan(1)

Теперь мы можем найти значение арктангенса:

4x + 1 = π/4

Теперь мы можем найти значение x:

4x = π/4 - 1

x = (π/4 - 1) / 4

Теперь у нас есть значение x для первого уравнения.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

1 + sin²() = 1

Заметим, что sin²() = 0, так как sin(0) = 0. Таким образом, у нас есть:

sin() = 0

Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как sin() равно 0 во многих точках на графике синусоиды.

Таким образом, мы нашли все действительные решения для обоих тригонометрических уравнений.