Question

Доказать что 3k^3+3k делится на 6

Answer 1

Ответ:

Число делится на 2 и на 3 при любых значения k. Число делится на 6 ч.и.т.д.

Пошаговое объяснение:

Вынесем множитель за скобки:

3k³+3k=3k(k²+1);

Чтобы число делилось на 6 необходимо и достаточно, чтобы число делилось на 2 и на 3 одновременно.

Число 3k(k²+1) делится на 3 при любом значении k (т.к. содержит множитель 3).

Докажем, что число 3k(k²+1) делится и на 2. Очевидно, что при любых четных k наше число будет делиться на 2 (если подставить вместо k четное число вида 2n, где n∈ N, то вид нашего числа будет такой:

k=2n; 3k(k²+1)=3*2*n((2n)²+1)).

Если число k нечетное, то:

k=2n+1, где n∈ N

3k(k²+1)=3*(2n+1)((2n+1)²+1)=3*(2n+1)(4n²+4n+1)+1)=3*(2n+1)(4n²+4n+2)=

3*(2n+1)*2*(2n²+n+1).

Число делится на 2!

Число делится на 2 и на 3 при любых значения k. Число делится на 6 ч.и.т.д.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение \(3k^3 + 3k\) делится на 6, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Первым шагом мы можем проверить, что данное выражение делится на 6 при \(k = 1\). Далее, мы можем предположить, что \(3k^3 + 3k\) делится на 6 для некоторого целого числа \(k = n\), т.е. \(3n^3 + 3n = 6m\), где \(m\) - целое число.

Теперь давайте рассмотрим \(k = n + 1\). Мы можем выразить \(3(n+1)^3 + 3(n+1)\) как: \[3(n+1)^3 + 3(n+1) = 3(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 3n + 3\] \[= 3n^3 + 9n^2 + 9n + 3 + 3n + 3\] \[= 3n^3 + 9n^2 + 12n + 6\] \[= 3n^3 + 3n + 6(3n^2 + 4n + 2)\]

Таким образом, мы видим, что \(3(n+1)^3 + 3(n+1)\) также представляется в виде \(6m\), где \(m\) - целое число. Это демонстрирует, что если \(3k^3 + 3k\) делится на 6 для некоторого целого числа \(k\), то оно также делится на 6 для \(k+1\). Поэтому, учитывая базовый шаг и шаг индукции, мы можем заключить, что \(3k^3 + 3k\) делится на 6 для всех целых \(k\).

Таким образом, мы успешно доказали, что \(3k^3 + 3k\) делится на 6 для всех целых значений \(k\).