Question

Упростите вырожение tg^2a×cos^2a+ctg^2a×sin^2a

Answer 1

Ответ:

выражение равно 1

Пошаговое объяснение:

tg^2a×cos^2a+ctg^2a×sin^2a=sin^2a+cos^2a=1

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами, такими как tg^2a + 1 = sec^2a и ctg^2a + 1 = csc^2a, где sec^2a обозначает квадрат секанса, а csc^2a обозначает квадрат косеканса.

Применение тригонометрических тождеств

Давайте применим эти тождества к исходному выражению: tg^2a × cos^2a + ctg^2a × sin^2a

Используя tg^2a + 1 = sec^2a и ctg^2a + 1 = csc^2a, мы можем переписать исходное выражение: = (tg^2a + 1) × cos^2a + (ctg^2a + 1) × sin^2a = sec^2a × cos^2a + csc^2a × sin^2a

Использование основного тригонометрического тождества

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sec^2a - 1 = tan^2a и csc^2a - 1 = cot^2a, где tan^2a обозначает квадрат тангенса, а cot^2a обозначает квадрат котангенса.

Мы можем переписать выражение, используя это тождество: = (sec^2a - 1 + 1) × cos^2a + (csc^2a - 1 + 1) × sin^2a = (sec^2a - 1) × cos^2a + cos^2a + (csc^2a - 1) × sin^2a + sin^2a = tan^2a × cos^2a + cos^2a + cot^2a × sin^2a + sin^2a

Финальное упрощение

Теперь мы можем упростить дальше, используя тригонометрические тождества и алгебраические преобразования: = (sin^2a/cos^2a) × cos^2a + cos^2a + (cos^2a/sin^2a) × sin^2a + sin^2a = sin^2a + cos^2a + cos^2a + sin^2a = 1 + 1 = 2

Таким образом, упрощенное значение выражения tg^2a × cos^2a + ctg^2a × sin^2a равно 2.