Question

Найти производную функцию y=∛√ Х в точке х=9 в точке x=9

Answer 1

Ответ:

$\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$

Решение:

$y=\sqrt[3]{\sqrt{x}}=\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{6}}\\\\y`(x)=(x^{\frac{1}{6}})`=\frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1}= \frac{1}{6}x^{\frac{5}{6}}=\frac{\sqrt[6]{x^5}}{6}\\\\x=9\\\\y`(9)=\frac{\sqrt[6]{9^5}}{6}=\frac{\sqrt[6]{(3^2)^5}}{6}=\frac{\sqrt[6]{3^{10}}}{6}=\frac{\sqrt[6]{3^6*3^4}}{6}=\frac{3\sqrt[6]{3^4}}{6}=\frac{\sqrt[3]{3^2}}{2}=\frac{\sqrt[3]{9}}{2}$

Объяснение:

$(x^n)`=n*x^{n-1}$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}=\sqrt[nm]{x}\\\\\sqrt[n]{x^n}=x\\\\\sqrt[nk]{x^{mk}}=\sqrt[n]{x^m}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = ∛√x в точке x = 9, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

1. Начнем с внешней функции ∛(√x).
2. Применим правило дифференцирования для корня: d/dx (√x) = (1/2√x).
3. Применим правило дифференцирования для кубического корня: d/dx (∛u) = (1/3u^(2/3)) * du/dx. Здесь u = √x.
4. Вычислим производную для √x: du/dx = (1/2√x).
5. Подставим значения в формулу для производной: (1/3(√x)^(2/3)) * (1/2√x). После упрощения получим: (1/6(√x)^(5/3)).
6. Подставим x = 9 в выражение для производной: (1/6(√9)^(5/3)) = (1/6 * 3^(5/3)) = (1/6 * 3^(5/3)).

Таким образом, производная функции y = ∛√x в точке x = 9 равна (1/6 * 3^(5/3)).