Question

Розв'язати тригонометричне рівняння cos(x+Pi/4)+1=0​

Answer 1

.....................

Answer 2

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння cos(x + π/4) + 1 = 0, спочатку перетворимо його до більш зручної форми. Основна ідея полягає в тому, щоб отримати cos(x) на одній стороні рівняння.

Почнемо зі спрощення виразу cos(x + π/4). Використовуючи формулу суми для косинуса, ми можемо перетворити цей вираз:

cos(x + π/4) = cos(x)cos(π/4) - sin(x)sin(π/4) = √2/2 * (cos(x) - sin(x))

Тепер підставимо цей вираз у наше рівняння:

√2/2 * (cos(x) - sin(x)) + 1 = 0

Далі, ми можемо помножити обидві сторони рівняння на 2/√2, щоб позбутися від знаменника:

(cos(x) - sin(x)) * √2 + 2/√2 = 0

Тепер давайте підставимо √2/2 = 1/√2:

(cos(x) - sin(x)) * (1/√2) + 2/√2 = 0

Зараз ми маємо:

cos(x) - sin(x) + 2 = 0

Тепер ми можемо перенести 2 на іншу сторону рівняння:

cos(x) - sin(x) = -2

Тепер ми маємо тригонометричне рівняння cos(x) - sin(x) = -2, яке ми можемо розв'язати.

Знаходження розв'язків тригонометричного рівняння

Існує кілька підходів до розв'язання тригонометричних рівнянь. Один з них - використання тригонометричних тотожностей для спрощення рівняння. У нашому випадку ми можемо скористатися тотожністю cos(x) = sin(π/2 - x), щоб перетворити рівняння.

cos(x) - sin(x) = -2

sin(π/2 - x) - sin(x) = -2

Тепер ми можемо скористатися тотожністю sin(A) - sin(B) = 2sin((A - B)/2)cos((A + B)/2), щоб спростити рівняння:

2sin((π/2 - x - x)/2)cos((π/2 - x + x)/2) = -2

Скоротимо вираз:

2sin(π/4 - x/2)cos(π/4) = -2

sin(π/4 - x/2) = -1

Тепер ми можемо застосувати обернену тригонометричну функцію sin(x), яка називається arcsin(x) або sin^(-1)(x), до обох сторін рівняння:

π/4 - x/2 = arcsin(-1)

x/2 = π/4 - arcsin(-1)

x = 2(π/4 - arcsin(-1))

Значення arcsin(-1) не має точного числового рішення, оскільки синусна функція є обмеженою в діапазоні [-1, 1]. Однак, ми можемо використати наближені значення для знаходження орієнтовного розв'язку.

Отже, розв'язком рівняння cos(x + π/4) + 1 = 0 є x = 2(π/4 - arcsin(-1)), де arcsin(-1) - наближене значення оберненої синусної функції.