Question

Найдите наименьшее значение функции у=е(^2х)-8е(^х) +9 на отрезке (0;4)

Answer 1

Ответ:е⁸-8е⁴+9-наибольшее значение; -7- наименьшее значение на [0;4];

Пошаговое объяснение:

найдем производную, у'=2e²ˣ-8e²ˣ=2eˣ*(eˣ-4)=0

критические точки еˣ=4; х=㏑4≈1.4∈[0;4]; еˣ≠0;

у(0)=1-8+9=0

у(4)=е⁸-8е⁴+9≈2981-8*54+9=2981-432+9=2558- наибольшее значение  

у(㏑4)=е(^2(㏑4)-8е^(㏑4) +9=16-8*4+9=-7- наименьшее значение на [0;4];

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции у=е^(2х)-8е^х+9 на отрезке (0;4) можно использовать метод дифференцирования.

Сначала найдем производную функции у по переменной х:

у' = (2е^(2х)) - (8е^х)

Затем приравняем производную к нулю и найдем значения х, которые удовлетворяют этому условию:

(2е^(2х)) - (8е^х) = 0

Вынесем общий множитель е^х:

е^х * (2е^х - 8) = 0

Из этого уравнения следует, что либо е^х = 0, либо 2е^х - 8 = 0.

Так как е^х не может быть равно нулю, рассмотрим уравнение 2е^х - 8 = 0:

2е^х = 8

е^х = 4

Применяя натуральный логарифм к обеим сторонам, получим:

х = ln(4)

Для определения, является ли найденное значение минимумом или максимумом, можно проанализировать знаки второй производной.

Возьмем вторую производную у''(х):

у'' = (4е^(2х)) - (8е^х)

Подставим найденное значение х = ln(4):

у''(ln(4)) = (4е^(2ln(4))) - (8е^(ln(4)))

у''(ln(4)) = (4 * 4^2) - (8 * 4)

у''(ln(4)) = 64 - 32

у''(ln(4)) = 32

Так как вторая производная положительна (32 > 0), полученное значение х = ln(4) соответствует минимуму функции.

Теперь найдем значение функции у при х = ln(4):

у(ln(4)) = е^(2ln(4)) - 8е^(ln(4)) + 9

у(ln(4)) = 16 - 8 * 4 + 9

у(ln(4)) = 16 - 32 + 9

у(ln(4)) = -7

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке (0;4) равно -7.