Question

Натуральное число при делении на 5 даёт в остатке 4. Докажите, что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5.

Answer 1

Пусть перед нами натуральное число n. По условию при делении на 5 оно дает в остатке 4. То есть $(n-4) = 5k$, где $k$ - некотрое целое число. Перепишем равенство в виде $n = 5k+4$. Теперь возведем n в куб и квадрат:

$n^3 = (5k+4)^3 = 125k^3+300k^2+240k+64\\n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2+40k+16$

Посчитаем сумму куба и квадрата нашего числа n:$n^3+n^2 = 125k^3+300k^2+240k+64 + 25k^2+40k+16 = 125k^3+325k^2+280k+80$

Убедимся, что эта сумма делится на 5. Для этого просто вынесем 5 за скобку:

$n^3+n^2 = 125k^3+325k^2+280k+80 = 5*(25k^3+65k^2+56k+16)$

Правая часть равенства, очевидно, делится на 5. Тогда и левая часть тоже делится на 5 (это следует из свойств делимости), то есть $(n^3+n^2)$ делится на 5. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что сумма куба натурального числа, которое при делении на 5 даёт в остатке 4, и его квадрата делится на 5, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Для начала, давайте найдем все числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4. Это числа вида 5k + 4, где k - некоторое целое число. Например, 4, 9, 14, 19 и так далее.

Шаг 1: Базис индукции

Давайте проверим, выполняется ли условие для базиса индукции. Рассмотрим число 4 (5 * 0 + 4). Его куб равен 4^3 = 64, а квадрат равен 4^2 = 16. Сумма куба и квадрата равна 64 + 16 = 80. Теперь проверим, делится ли 80 на 5. Действительно, 80 / 5 = 16, без остатка. Таким образом, условие выполняется для базиса индукции.

Шаг 2: Предположение индукции

Допустим, что для некоторого натурального числа n условие выполняется, то есть сумма куба n и его квадрата делится на 5.

Шаг 3: Индукционное предположение

Докажем, что условие выполняется для числа n + 1, то есть сумма куба (n + 1) и его квадрата делится на 5.

Рассмотрим (n + 1)^3 + (n + 1)^2. Мы можем разложить это выражение следующим образом:

(n + 1)^3 + (n + 1)^2 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^2 + 2n + 1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + n^2 + 2n + 1 = n^3 + n^2 + 5n + 2

Шаг 4: Доказательство

Теперь мы должны показать, что (n^3 + n^2 + 5n + 2) делится на 5 для любого натурального числа n.

Давайте рассмотрим случай, когда условие выполняется для числа n. По предположению индукции мы знаем, что сумма куба n и его квадрата делится на 5. Обозначим эту сумму как k * 5, где k - некоторое целое число.

Теперь давайте рассмотрим сумму куба (n + 1) и его