Question

1)y=x^2-arcsin3x 2)y=10^x*log5x3)y= x^3+sinx/x^2+3 (/ дробная черта)4)y=√3x^2+5cosxнайти производную функций

Answer 1

Ответ:

$1) ~ 2x -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2} }$

$2)~ 10^x \bigg (\ln 10 \cdot \log _5x+ \dfrac{1}{x\ln 5} \bigg)$

$3) ~ \displaystyle \frac{x^4 + x^2 \cos x+ 9 \cos^2x -2x\sin x+ 3 \cos x}{(x^2+3)^2}$

$4) ~ \dfrac{6x - 5 \sin x }{2\sqrt{3x^2+5 \cos x} }$

Пошаговое объяснение:

Для решения будем использовать  формулы

$1) ~ (u\pm v) ' = u' - v' \\\\\ 2) ~( a^x) '= a^x \cdot \ln a \\\\ 3) ~( \arcsin u ) ' = \dfrac{u'}{\sqrt{1- u^2 } } \\\\ 4) ~ (u \cdot v)' = u 'v + uv' \\\\ 5) ~( \log _a x ) ' = \dfrac{1}{x \ln a } \\\\ 6) ~ \bigg ( \dfrac{u}{v} \bigg ) ' = \dfrac{u' v - uv'}{v^2 } \\\\ 7 ) ~ (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

Тогда

$1) ~ y = x^2 - \arcsin 3x$

Воспользуемся 1-й и  3-й формулой

$y ' = (x^2 - \arcsin 3x ) ' = 2x - \dfrac{(3x)'}{\sqrt{1- (3x)^2} } = \boxed{2x -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2} } }$


$2) ~ y = 10^x \cdot \log _5 x$

Воспользуемся  2,4,5 формулами


$y ' = (10^x \cdot \log _5 x ) ' = (10^x)' \cdot \log _5 x+ 10^x \cdot (\log _5 x)' = \\\\\\ 10^x \cdot \ln 10 \cdot \log _5 x + 10^x \cdot \dfrac{1}{x \cdot \ln5} = \boxed{10^x \bigg (\ln 10 \cdot \log _5x+ \dfrac{1}{x\ln 5} \bigg)}$


$3) ~ y = \dfrac{x^3 +\sin x}{x^2 +3 }$

Воспользуемся  6-й   и 1-й  формулой

$\displaystyle y ' = \bigg ( \dfrac{x^3 +\sin x}{x^2 +3 } \bigg ) ' = \frac{(x^3+\sin x)'(x^2+3) - (x^3+ \sin x) (x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \\\\\\ \frac{(3x^2+\cos x)(x^2+3) - (x^3+\sin x)\cdot 2x }{(x^2 +3)^2 } = \\\\\\\ \frac{3x^4+x ^2 \cos x + 9 x^2 +3\cos x -2x^4 - 2x \sin x }{(x^2+3)^2 } = \\\\\\ \boxed{\frac{x^4 + x^2 \cos x+ 9 \cos^2x -2x\sin x+ 3 \cos x}{(x^2+3)^2}}$



$4) ~ y = \sqrt{3x^2+ 5 \cos x }$

Воспользуемся 7-й и 1-й формулой


$y = \sqrt{3x^2+ 5 \cos x } =(3x^2+ 5 \cos x )^{\tfrac{1}{2} } \\\\\\ y ' =\Big( (3x^2+ 5 \cos x )^{\tfrac{1}{2}} \Big ) ' = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3x^2+ 5 \cos x }} \cdot (3x^2+ 5 \cos x ) ' = \\\\\\ \boxed{\dfrac{6x - 5 \sin x }{2\sqrt{3x^2+5 \cos x} }}$

Answer 2

Для нахождения производной каждой из данных функций, мы можем использовать правила дифференцирования, которые позволят нам найти производные для каждого члена функции. Я помогу вам найти производные для каждой из этих функций.

1) \( y = x^2 - \arcsin(3x) \)

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать несколько правил дифференцирования. Давайте начнем с поиска производной для каждого члена функции:

1.1) Для \( x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]

1.2) Для \( -\arcsin(3x) \): \[ \frac{d}{dx}(-\arcsin(3x)) = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} \]

Теперь мы можем объединить эти результаты: \[ \frac{dy}{dx} = 2x - \frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} \]

2) \( y = 10^x \cdot \log_5(x) \)

Для нахождения производной этой функции, мы также будем использовать несколько правил дифференцирования. Давайте начнем с поиска производной для каждого члена функции:

2.1) Для \( 10^x \): \[ \frac{d}{dx}(10^x) = 10^x \cdot \ln(10) \]

2.2) Для \( \log_5(x) \): \[ \frac{d}{dx}(\log_5(x)) = \frac{1}{x \cdot \ln(5)} \]

Теперь мы можем объединить эти результаты: \[ \frac{dy}{dx} = 10^x \cdot \ln(10) \cdot \log_5(x) + \frac{10^x}{x \cdot \ln(5)} \]

3) \( y = \frac{x^3 + \sin(x)}{x^2 + 3} \)

Для нахождения производной этой функции, мы также будем использовать несколько правил дифференцирования. Давайте начнем с поиска производной для каждого члена функции:

3.1) Для \( x^3 + \sin(x) \): \[ \frac{d}{dx}(x^3 + \sin(x)) = 3x^2 + \cos(x) \]

3.2) Для \( x^2 + 3 \): \[ \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x \]

Теперь мы можем объединить эти результаты: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(3x^2 + \cos(x))(x^2 + 3) - (x^3 + \sin(x))(2x)}{(x^2 + 3)^2} \]

4) \( y = \sqrt{3x^2 + 5 \cos(x)} \)

Для нахождения производной этой функции, мы также будем использовать несколько правил дифференцирования. Давайте начнем с поиска производной для каждого члена функции:

4.1) Для \( \sqrt{3x^2 + 5 \cos(x)} \): \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{3x^2 + 5 \cos(x)}) = \frac{6x - 5\sin(x)}{2\sqrt{3x^2 + 5 \cos(x)}} \]

Таким образом, мы получаем производные для каждой из данных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!