Question

В усеченной правильной 6-угольной пирамиде стороны основания 6см и 4см.Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найти обьем.

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды равен  (40√3+24√2) см³

Пошаговое объяснение:

В усеченной правильной шестиугольной пирамиде стороны основания 6 см и 4 см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 °. Найти объем пирамиды.

Объем усеченной пирамиды определяется по формуле:

$V= \dfrac{1}{3} h( S{_1}+\sqrt{S{_!}S{_2}} +S{_2}),$

где h - высота пирамиды.

$S{_1},S{_2} -$ - площади оснований.

Площадь правильного шестиугольника определяется по формуле:

$S= \dfrac{6a^{2}\sqrt{3} }{4} , a-$ сторона шестиугольника.

Тогда

$S{_1}= \dfrac{6\cdot 4^{2} \sqrt{3} }{4} =\dfrac{6\cdot 16\cdot \sqrt{3} }{4} =6\cdot4\sqrt{3} =24\sqrt{3}$ см²

$S{_2}= \dfrac{6\cdot 6^{2} \sqrt{3} }{4} =\dfrac{6\cdot 36\cdot \sqrt{3} }{4} =9\cdot4\sqrt{3} =36\sqrt{3}$ см²

Тогда надо найти высоту пирамиды , то есть длину отрезка $OO_{1}$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $OCC_{1} O_{1}$ ( во вложении)

$OC= 6$ см

$O_{1} C_{1} =4$ см

Проведем высоту $C_{1} M$

$C_{1} M=OO_{1} =h$

$MC= OC- O_{1} C_{1} =6-4=2$ см.

Рассмотрим Δ$CMC_{1} -$ прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Если ∠$C_{1} CM=45^{0}$ , то ∠ $CC_{1} M=90^{0} -45^{0} =45^{0}$

и данный треугольник равнобедренный, так как два угла равны

$C_{1} M=CM= 2$ см.

Значит, высота пирамиды равна 2 см и можно найти ее объем

$V= \dfrac{1}{3} \cdot 2 \cdot ( 24\sqrt{3} +\sqrt{24\sqrt{3} \cdot 36\sqrt{3} } +36\sqrt{3} )=\dfrac{2}{3} \cdot (24\sqrt{3} +\sqrt{24\cdot36\cdot3} +36\sqrt{3} )=\\\\=\dfrac{2}{3} \cdot (60\sqrt{3} +\sqrt{3\cdot4\cdot2\cdot36\cdot3} )=\dfrac{2}{3} \cdot (60\sqrt{3} +6\cdot 2\cdot3\sqrt{2} )=\dfrac{2}{3} \cdot (60\sqrt{3} +36\sqrt{2} )=\\\\=\dfrac{2}{3} \cdot3\cdot (20\sqrt{3} +12\sqrt{2} )=2\cdot (20\sqrt{3} +12\sqrt{2} )=40\sqrt{3} +24\sqrt{2}$

Объем пирамиды равен  (40√3+24√2) см³

#SPJ1

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится найти высоту усеченной пирамиды. Затем, используя формулу для вычисления объема пирамиды, мы сможем найти ответ.

Нахождение высоты усеченной пирамиды:

Для начала, построим вспомогательный треугольник, чтобы найти высоту усеченной пирамиды. Треугольник будет образован боковым ребром пирамиды, высотой пирамиды и отрезком, соединяющим центры оснований пирамиды.

Поскольку боковое ребро пирамиды (4 см) наклонено к плоскости основания под углом 45°, мы можем разделить его на две составляющие: одна параллельна плоскости основания и равна 4 * cos(45°), а другая перпендикулярна плоскости основания и равна 4 * sin(45°).

Теперь, используя полученные составляющие, мы можем построить вспомогательный треугольник. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы можем найти высоту пирамиды.

Высота пирамиды = √((4 * sin(45°))^2 + (6 - 4 * cos(45°))^2)

Вычисление объема усеченной пирамиды:

Теперь, когда у нас есть высота усеченной пирамиды, мы можем вычислить ее объем, используя формулу для объема пирамиды:

Объем пирамиды = (1/3) * площадь основания * высота

Поскольку у нас 6-угольная пирамида, площадь основания можно вычислить через формулу площади 6-угольника:

Площадь основания = (3 * √3 * (сторона основания)^2) / 2

Подставляя известные значения в формулу, мы можем найти объем усеченной пирамиды.

Подробный расчет: Высота пирамиды = √((4 * sin(45°))^2 + (6 - 4 * cos(45°))^2)

Высота пирамиды = √((4 * 0.7071)^2 + (6 - 4 * 0.7071)^2)

Высота пирамиды = √(8^2 + (6 - 2.8284)^2)

Высота пирамиды = √(64 + 9.1716^2)

Высота пирамиды = √(64 + 84.2376)

Высота пирамиды = √148.2376

Высота пирамиды ≈ 12.165 см

Площадь основания = (3 * √3 * (сторона основания)^2) / 2

Площадь основания = (3 * √3 * (6)^2) / 2

Площадь основания = (3 * √3 * 36) / 2

Площадь основания = (3 * 6 * √3)

Площадь основания ≈ 54√3 см^2

Объем пирамиды = (1/3) * площадь основания * высота

Объем пирамиды = (1/3) * 54√3 * 12.165

Объем пирамиды ≈ 232.3 см^3

Таким образом, объем усеченной пирамиды составляет примерно 232.3 см^3.