Question

Cosx – корінь3 sin x =2sin3x .

Answer 1

Cosx – корінь3 sin x =2sin3x

(1/2)cosx-(√3/2)sinx=sin3x

sin(П/6-x)=sin3x

sin3x-sin(П/6-x)=0  sina-sinb=2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2)

2sin(2x-П/12)cos(x+П/12)=0

cos(x+П/12)=0  x+П/12=П/2+Пk  x=5П/12+Пk

sin(2x-П/12)=0  2x-П/12=Пk       x=П/24+Пk/2

Answer 2

Это уравнение тригонометрического типа. Для его решения можно использовать формулу приведения: $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\sin 3x$$ $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\sin (2x + x)$$ $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2(\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x)$$ $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2(2\sin x \cos x \cos x + (\cos^2 x - \sin^2 x) \sin x)$$ $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 4\sin x \cos^2 x + 2\cos^2 x \sin x - 2\sin^3 x$$ $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\sin x (2\cos^2 x + \cos x - \sin^2 x)$$ $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\sin x (\cos x - 1)(2\cos x + 1)$$ Отсюда получаем три возможных случая:

1) $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 0$$ Это уравнение можно решить с помощью тригонометрической подстановки: $$\cos x - \sqrt{3}\sin x = R\sin (x + \theta)$$ где $$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$ и $$\theta = \arctan \frac{b}{a} = \arctan (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$ Тогда $$\sin (x - \frac{\pi}{3}) = 0$$ $$x - \frac{\pi}{3} = k\pi$$ $$x = k\pi + \frac{\pi}{3}$$ где $$k \in \mathbb{Z}$$

2) $$\cos x - 1 = 0$$ Это уравнение имеет решение: $$\cos x = 1$$ $$x = 2k\pi$$ где $$k \in \mathbb{Z}$$

3) $$2\cos x + 1 = 0$$ Это уравнение имеет решение: $$\cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$ где $$k \in \mathbb{Z}$$

Объединяя все решения, получаем общий ответ: $$x = k\pi + \frac{\pi}{3}$$ или $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$$ где $$k \in \mathbb{Z}$$

Для более подробного объяснения вы можете посмотреть эти сайты: [Mathway](https://www.mathway.com/trigonometry) или [Symbolab](https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-identity-proving-calculator).