Question

Помогите решить задачу с градиентом! Найти градиент функции в заданой точке u=ln(xy-z^2) ,M(3,2,2)

Answer 1

Ответ:

градиент функции в точке M(3,2,2)    $\displaystyle grad(u)_M=\boldsymbol { 1 \vec i+ \frac{3}{2} \vec j- 2 \vec k}$

Пошаговое объяснение:

определение

• градиент функции u = f(x,y,z) это  вектор, координатами которого являются частные производные данной функции.
• $\displaystyle grad (u)=\frac{\partial u }{\partial x} \vec i+\frac{\partial u }{\partial y} \vec j+\frac{\partial u }{\partial z} \vec k$

Ищем частные производные

$\displaystyle \frac{\partial u }{\partial x} = \frac{y}{xy-z^2} ; \qquad \frac{\partial u }{\partial y} =\frac{x}{xy-z^2} ;\qquad \frac{\partial u }{\partial z}= \frac{-2z}{xy-z^2}$

Тогда градиент

$\displaystyle grad(u) = \frac{y}{xy-z^2} \vec i+ \frac{x}{xy-z^2} \vec j- \frac{2z}{xy-z^2} \vec k$

$\displaystyle grad(u)_M = \frac{2}{3*2-2^2} \vec i+ \frac{3}{3*2-2^2} \vec j- \frac{2*2}{3*2-4^2} \vec k= 1 \vec i+ \frac{3}{2} \vec j- 2 \vec k$

Answer 2

Градиент функции в заданной точке

Для нахождения градиента функции в заданной точке, нам необходимо сначала вычислить частные производные функции по каждой из переменных, а затем подставить значения переменных в найденные производные.

В данном случае, нам нужно найти градиент функции u = ln(xy - z^2) в точке M(3, 2, 2).

Давайте начнем с вычисления частных производных функции u по каждой из переменных.

Частная производная по переменной x: - Для нахождения частной производной по x, мы будем считать y и z константами. - Производная ln(xy - z^2) по x равна (1/(xy - z^2)) * y. - Подставляя значения y = 2 и z = 2, получаем частную производную по x: (1/(3*2 - 2^2)) * 2 = 1/2.

Частная производная по переменной y: - Для нахождения частной производной по y, мы будем считать x и z константами. - Производная ln(xy - z^2) по y равна (1/(xy - z^2)) * x. - Подставляя значения x = 3 и z = 2, получаем частную производную по y: (1/(3*2 - 2^2)) * 3 = 3/2.

Частная производная по переменной z: - Для нахождения частной производной по z, мы будем считать x и y константами. - Производная ln(xy - z^2) по z равна (1/(xy - z^2)) * (-2z). - Подставляя значения x = 3 и y = 2, получаем частную производную по z: (1/(3*2 - 2^2)) * (-2*2) = -4/2 = -2.

Теперь, когда мы нашли все частные производные, мы можем записать градиент функции в точке M(3, 2, 2) следующим образом:

grad(u) = (1/2, 3/2, -2).

Это и есть градиент функции u = ln(xy - z^2) в заданной точке M(3, 2, 2).

Источник: - - '++ Qt Creator' - snippet: ``` . 1 #include 2 using namespace std; 3 int main( ) 4 { 5 float a, b, s, p;...```