Question

Помогите решить задачу с градиентом! Найти градиент функции в заданой точке u=ln(xy-z^2) ,M(3,2,2)

Answer 1

Ответ:

градиент функции в точке M(3,2,2)    $\displaystyle grad(u)_M=\boldsymbol { 1 \vec i+ \frac{3}{2} \vec j- 2 \vec k}$

Пошаговое объяснение:

определение

• градиент функции u = f(x,y,z) это  вектор, координатами которого являются частные производные данной функции.
• $\displaystyle grad (u)=\frac{\partial u }{\partial x} \vec i+\frac{\partial u }{\partial y} \vec j+\frac{\partial u }{\partial z} \vec k$

Ищем частные производные

$\displaystyle \frac{\partial u }{\partial x} = \frac{y}{xy-z^2} ; \qquad \frac{\partial u }{\partial y} =\frac{x}{xy-z^2} ;\qquad \frac{\partial u }{\partial z}= \frac{-2z}{xy-z^2}$

Тогда градиент

$\displaystyle grad(u) = \frac{y}{xy-z^2} \vec i+ \frac{x}{xy-z^2} \vec j- \frac{2z}{xy-z^2} \vec k$

$\displaystyle grad(u)_M = \frac{2}{3*2-2^2} \vec i+ \frac{3}{3*2-2^2} \vec j- \frac{2*2}{3*2-4^2} \vec k= 1 \vec i+ \frac{3}{2} \vec j- 2 \vec k$

Answer 2

Для того чтобы найти градиент функции в заданной точке, нам нужно найти частные производные функции по каждой из переменных (x, y, z) и подставить значения координат точки M.

Итак, дана функция f(u) = ln(xy - z^2). Найдем частные производные этой функции по каждой из переменных:

∂f/∂x = (1/(xy - z^2)) * y ∂f/∂y = (1/(xy - z^2)) * x ∂f/∂z = (1/(xy - z^2)) * (-2z)

Теперь подставим значения координат точки M(3,2,2) в эти частные производные:

∂f/∂x = (1/(3*2 - 2^2)) * 2 = 1/4 ∂f/∂y = (1/(3*2 - 2^2)) * 3 = 3/4 ∂f/∂z = (1/(3*2 - 2^2)) * (-2*2) = -1/2

Таким образом, градиент функции в точке M(3,2,2) будет равен: grad(f) = (1/4, 3/4, -1/2)