Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Боковые грани равно наклонены к основанию под углом 45 градусов. Найти объём пирамиды

Answer 1

Vпирамиды  =  1/3 Sh, 

где h - высота пирамиды,S - площадь основания

Sосн=1/2аb=6*8:2=24(cм²)

Если все боковые грани наклонены к основанию под одним углом, то основанием высоты пирамиды служит центр вписанной в основание пирамиды окружности. 

Радиус вписанной в треугольник окружности находим по формуле:

S=pr   (Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.)⇒

 r=S/p ,где

р - полупериметр,

 r - радиус окружности, вписанной в треугольник.

p=(a+b+c)/2

c=√(a²+b²)=√(6²+8²)=10

p=(6+8+10)/2=12

Sосн=24см²
r=24/12=2
Высоту пирамиды найдем из треугольника, образованного радиусом вписанной окружности, высотой пирамиды и апофемой.В нём угол между апофемой и радиусом равен 45°, а другой - 90°, значит, треугольник равнобедренный.

Тогда высота пирамиды равна радиусу: h=r=2.

V=1/3Sh

V=24*2:3=16(см³)

,