Question

Найти экстремумы функции a) f(x)=x^ 3 -3x^ 2 +2x+4 б) f(x) = 3e ^ (2x) - 2e ^ (3x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$a) f(x)=x^3-3x^2+2x+4\\f'(x)=3x^2-6x+2\\D/4=9-8=1\\x_1=\dfrac{3-1}{3}=\dfrac23\\x_2=\dfrac{3+1}{3}=\dfrac43\\\\b) f(x)=3e^{2x}-2e^{3x}\\f'(x)=6e^{2x}-6e^{3x}=6e^{2x}(1-e^x)\\e^x=1\\x=0$

Answer 2

a) Чтобы найти экстремумы функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4, нужно найти значения x, где производная функции равна нулю.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 2

Чтобы найти значения x, приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

3x^2 - 6x + 2 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4 * 3 * 2 = 36 - 24 = 12

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

x = (-(-6) ± √12) / (2 * 3) x = (6 ± √12) / 6 x = (6 ± 2√3) / 6 x = 1 ± √3/3

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x₁ = 1 + √3/3 x₂ = 1 - √3/3

Чтобы определить, является ли точка экстремума минимумом или максимумом, мы можем проанализировать знак второй производной.

f''(x) = 6x - 6

Подставим значения x₁ и x₂ во вторую производную:

f''(x₁) = 6(1 + √3/3) - 6 = 2√3 - 6 < 0 f''(x₂) = 6(1 - √3/3) - 6 = -2√3 - 6 < 0

Оба значения второй производной отрицательны, поэтому точки экстремума x₁ и x₂ являются максимумами функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4.

b) Чтобы найти экстремумы функции f(x) = 3e^(2x) - 2e^(3x), нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

f'(x) = 6e^(2x) - 6e^(3x)

Чтобы найти значения x, приравняем производную к нулю:

6e^(2x) - 6e^(3x) = 0

Мы можем сократить на 6 и переписать уравнение:

e^(2x) - e^(3x) = 0

Факторизуем это уравнение:

e^(2x)(1 - e^x) = 0

Так как экспонента e^(2x) всегда положительна, у нас остается одно решение:

1 - e^x = 0

e^x = 1

x = ln(1)

Однако нам нужно провер