Question

В окружность вписан треугольник ABC, в котором проведены медианы AF и BK. Медиану AF продлили до пересечения с окружностью в точке D. Найдите стороны AC и BC, если BK=63 см, AF=45 см, FD=24,2 см.

Answer 1

Ответ:

Стороны АС и ВС равны 42 см и 66 см соответственно.

Пошаговое объяснение:

В окружность вписан треугольник ABC, в котором проведены медианы AF и BK. Медиану AF продлили до пересечения с окружностью в точке D. Найдите стороны AC и BC, если BK = 63 см, AF = 45 см, FD = 24,2 см.

Дано: Окр.О;

ΔАВС - вписанный;

AF и BK - медианы;

AF ∩ Окр.О = D;

BK = 63 см, AF = 45 см, FD = 24,2 см.

Найти: AC и BC.

Решение:

1. ВС ∩ AD = F - хорды.

• Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

⇒ AF · FD = BF · FC

BF · FC = 45 · 24,2

BF · FC = 1089

BF = FC (AF - медиана)

⇒ BF = FC = √1089 = 33 (см)

ВС = 66 см.

2. AF ∩ BK = M - медианы.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2 : 1, начиная от вершины.

AF = 45 см ⇒ АМ = 30 см; MF = 15 см.

ВК = 63 см ⇒ ВМ = 42 см; МК = 21 см.

3. AD ∩ BE = M - хорды.

⇒ АМ · МD = BM ·ME

Пусть КЕ = х см

Тогда получим:

30 · (15 + 24,2) = 42 · (21 + х)

1176 = 882 + 42х

42х = 294

х = 7

КЕ = 7 см.

4. АС ∩ ВЕ = К - хорды.

АК · КС = ВК · КЕ

АК · КС = 63 · 7

АК = КС (ВК - медиана)

АК = КС = √441 = 21

⇒ АС = 42 см.

Стороны АС и ВС равны 42 см и 66 см соответственно.

#SPJ1

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством вписанных углов, медианами и теоремой Пифагора.

По свойству вписанных углов, угол BAC является половиной центрального угла BDC. Поскольку медиана AF делит треугольник на две равные площади, то точка D является серединой диаметра BC окружности.

Поскольку FD является радиусом окружности, его длина равна половине диаметра BC. Поэтому длина диаметра BC равна 2 * FD = 2 * 24,2 = 48,4 см.

Так как D является серединой диаметра BC, то BD = DC = 48,4 / 2 = 24,2 см.

Теперь рассмотрим треугольник BKF. По теореме Пифагора:

BK^2 = BF^2 + FK^2

63^2 = BF^2 + (FK / 2)^2

3969 = BF^2 + (FK^2 / 4)

Также у нас есть равенство площадей треугольников BAF и BKF:

(1/2) * AF * BC = (1/2) * FK * BK

45 * 48,4 = FK * 63

FK = (45 * 48,4) / 63 ≈ 34,85 см

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника BKF: BK = 63 см, FK ≈ 34,85 см и BF = BC - FC.

Так как BC = BD + DC = 24,2 + 24,2 = 48,4 см, то BF = 48,4 - FC.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

63^2 = BF^2 + (FK / 2)^2

(45 * 48,4) / 63 ≈ 34,85

48,4 - FC = BF

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения BF и FC, а затем сможем найти длины сторон AC и BC:

BF ≈ 45,53 см FC ≈ 2,87 см

Таким образом, сторона AC ≈ 45,53 см, а сторона BC ≈ 48,4 см.