Question

Найти точку максимума функции y=x^3+16x^2+64x+12

Answer 1

Ответ:

$x{_{max}} =-8 .$

Пошаговое объяснение:

Надо определить точку максимума функции

$y= x^{3} +16x^{2} +64x+12$

Областью определения данной функции является множество всех чисел, то есть D(y) = ( - ∞; +∞) .

Найдем производную данной функции

$y'= (x^{3} )'+(16x^{2} )'+(64x)'+12' =3x^{2} +16\cdot2x+64 =3x^{2} +32x+64$

Найдем критические точки, решив уравнение :

$y'=0.$

$3x^{2} +32x+64=0;\\\\\dfrac{D}{4} =16^{2} -3\cdot64=256-192= 64=8^{2} ;\\\\x{_1}= \dfrac{-16-8}{3} =\dfrac{-24}{3} =-8;\\\\x{_2}= \dfrac{-16+8}{3} =\dfrac{-8}{3} =-\dfrac{8}{3} .$

Полученные точки делят числовую прямую на три промежутка, определим знак производной на каждом промежутке ( показано во вложении)

Если при переходе через точку производная меняет свой знак с "+" на " -" , то данная точка является точкой максимума.

При переходе через х= -8 производная меняет свой знак с "+" на " -" Значит,

$x{_{max}} =-8$

#SPJ1

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции y = x^3 + 16x^2 + 64x + 12, нужно найти критические точки функции, где её производная равна нулю, и проверить значения второй производной, чтобы убедиться, что это точка максимума.

1. Найдём производную функции y по x: y' = 3x^2 + 32x + 64.

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: 3x^2 + 32x + 64 = 0.

   Это квадратное уравнение. Применим квадратное уравнение и найдём его корни:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

   где a = 3, b = 32 и c = 64.

   x = (-32 ± √(32^2 - 4 * 3 * 64)) / (2 * 3) = (-32 ± √(1024 - 768)) / 6 = (-32 ± √256) / 6 = (-32 ± 16) / 6.

   Таким образом, получаем два значения x: x1 = (-32 + 16) / 6 = -2 и x2 = (-32 - 16) / 6 = -8/3.

3. Теперь найдём значения y в этих точках: y1 = (-2)^3 + 16(-2)^2 + 64(-2) + 12 = -8 + 64 - 128 + 12 = -60.

   y2 = (-8/3)^3 + 16(-8/3)^2 + 64(-8/3) + 12 = -512/27 + 16(64/9) - 512/3 + 12 = -512/27 + 1024/27 - 4608/27 + 324/27 = -3776/27.

Таким образом, точки максимума функции y = x^3 + 16x^2 + 64x + 12 имеют координаты (-2, -60) и (-8/3, -3776/27).