Question

Найдите длину интервала, на котором функция y = 3x³ + 6x2 - 4х + 9 убывает. Ответ округлите до целых. Выберите один ответ: -312 445 120 2​

Answer 1

Ответ: 2

Пошаговое объяснение:
y = 3x^3 + 6x^2 – 4х + 9
y' = 9x^2 + 12x - 4
Функция убывает, когда y' < 0.
График функции y'(x) = 9x^2 + 12x - 4 - парабола ветвями вверх.
Поэтому y' < 0 в промежутке между корнями уравнения 9x^2 + 12x - 4 = 0.
Длина отрезка между корнями квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равна √(b2 - 4ac) / a.
В нашем случае √(b2 - 4ac) / a = √(12^2 - 4∙9∙(-4)) / 9 = 12√2 / 9 = 4√2 / 3 = 1,8... ≈ 2

Answer 2

Для определения интервала, на котором функция убывает, мы можем анализировать производную функции. Если производная отрицательна на определенном интервале, то функция убывает на этом интервале.

Сначала найдем производную функции y = 3x³ + 6x² - 4x + 9: y' = 9x² + 12x - 4

Теперь найдем корни этой производной, то есть значения x, при которых производная равна нулю: 9x² + 12x - 4 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение, или применив факторизацию: (3x - 1)(3x + 4) = 0

Это дает нам два корня: x = 1/3 и x = -4/3.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для производной, чтобы определить, на каких интервалах функция убывает или возрастает:

x	(-∞, -4/3)	(-4/3, 1/3)	(1/3, +∞)
y'	+	-	+

Знак "+" означает положительную производную, а знак "-" означает отрицательную производную.

Из таблицы знаков видно, что функция y = 3x³ + 6x² - 4x + 9 убывает на интервале (-4/3, 1/3).

Таким образом, длина этого интервала составляет 1/3 - (-4/3) = 5/3 = 1.67 (округленно до двух знаков после запятой).

Ответ: 2.