Question

Знайдіть первісну функції f(x)=4x^3-2x+3 графік якої проходить через точку А(1; -2)

Answer 1

Ответ:

$f(x) = 4 {x}^{3} - 2x + 3$

Для нахождения первообразной данной функции, воспользуемся формулой первообразной функции $k{x}^{n}$ (коэффициент перед x остается неизменным)

$\displaystyle F(x) = 4 \times \frac{ {x}^{3 + 1} }{3 + 1} - 2 \times \frac{ {x}^{1 + 1} }{1 + 1} + 3 \times x + C \\ F(x) = 4 \times \frac{ {x}^{4} }{4} - 2 \times \frac{ {x}^{2} }{2} + 3x + C \\ F(x) = {x}^{4} - {x}^{2} + 3x + C$

где $C \in \R$

График первообразной проходит через точку A(1;-2). Подставим это в функцию первообразной. (Первое число это x, второе y. Координаты всегда пишутся, как A(x;y;z). F(x)=y)

${1}^{4} - {1}^{2} + 3 \times 1 + C = - 2 \\ 1 - 1 + 3 + C = - 2 \\ 3 + C = - 2 \\ C = - 2 - 3 \\ C = - 5$

Первообразная, проходящая через точку A, выглядит так:

$F(x) = {x}^{4} - {x}^{2} + 3x - 5$

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію f(x) = 4x^3 - 2x + 3, ми повинні знайти антипохідну цієї функції.

Для цього обчислимо антипохідну кожного члена функції окремо. Для мономіальних членів використовується загальна формула (x^n)' = n*x^(n-1), а для константного члена антипохідна дорівнює просто константі:

∫(4x^3) dx = 4 * ∫(x^3) dx = 4 * (x^(3+1))/(3+1) = 4 * (x^4)/4 = x^4

∫(-2x) dx = -2 * ∫(x) dx = -2 * (x^1)/(1) = -2 * x^2

∫(3) dx = 3 * x

Зараз ми маємо первісні кожного члена функції. Знайдемо загальну первісну, додавши ці результати:

F(x) = ∫(4x^3) dx - ∫(2x) dx + ∫(3) dx = x^4 - 2x^2 + 3x + C

Тут С - це константа інтегрування, яку можна додати до будь-якого антипохідного виразу. Ця константа дозволяє врахувати всі можливі первісні функції.

Щоб знайти значення константи C, використовуємо інформацію, що графік функції проходить через точку A(1, -2). Підставимо значення x = 1 і y = -2 в загальний антипохідний вираз:

-2 = (1^4) - 2(1^2) + 3(1) + C -2 = 1 - 2 + 3 + C -2 = 2 + C

C = -4

Таким чином, первісна функція f(x) = 4x^3 - 2x + 3, графік якої проходить через точку A(1, -2), є:

F(x) = x^4 - 2x^2 + 3x - 4