Question

Пожалуйста помогите!Найдите cos^8x-sin^8x, если tgx=0,5.Найдите область значений функции y=6sin2x+8cos2xКаково множество значений функции f(x)=2cos*(x\2)+3Найдите наименьшее значение выражения 13sin^2 *5x +17cos^2 *5x

Answer 1

1) 1+tg²x=1/cos²x  ⇒ cos²x = 1/(1+tg²x)=1/(1+0,25)=4/5
     тогда  sin²x=1-cos²x=1-4/5=1/5
     cos2x=cos²x-sin²x=4/5-1/5=3/5
     cos ⁴ x + sin ⁴ x = (cos ² x + sin ² x) - 2 ·cos ² x  ·sin ² x =1 - 2·(4/5)·(1/5)=    =1-(8/25)=17/25

  cos⁸ x -  sin ⁸ x= (cos ⁴ x - sin ⁴ x) (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
= (cos ² x - sin ² x)·(cos ² x - sin ² x)· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=
=  cos 2x· (cos ⁴ x + sin ⁴ x)=

 = 3/5 · 17/25= 51/125

2)    y=6sin2x+8cos2x= 10( 0,6 sin 2x +0, 8 cos 2x)=10· sin (2x+α)
       где  sin α=0,8  cosα=0,6
        воспользовались формулой синуса суммы
       sin 2x·cosα+cos2x·sinα= sin (2x+α)

     Так как синус - функция ограниченная, то -1 ≤ sin (2x +α) ≤1
     умножим все члены неравенства на 10:
     -10 ≤ 10 · sin (2x+α) ≤10
     Множество значений функции  E(y)= [-10;10]
3)  Аналогично 2)
     -1 ≤ cos(x\2) ≤1,
     -2 ≤ 2 cos (x/2) ≤2,
     -2+3 ≤ 2 cos (x/2) + 3 ≤ 2+3,
       1≤ f(x)≤5
     E(f)=[1;5]

4)   13sin² 5x +17cos²5x = 13sin² 5x +13cos²5x  +4cos²5x =1+4cos²5x =
   =1+4(1+cos 10x)/2=1+2(1+cos 10x)=3+2 cos10 x
    -1 ≤ cos(10x) ≤1,
     -2 ≤ 2 cos (10x) ≤2,
     -2+3 ≤ 2 cos (10x) + 3 ≤ 2+3,
   Значит,
       1≤13sin² 5x +17cos²5x ≤5
Наименьшее значение выражения 13sin² 5x +17cos²5x  равно 1