Question

Иван Николаевич решил выдать всем сотрудникам фирмы пропуска с номерами, состоящими из 4 цифр. Иван Николаевич родился 12 декабря и считает число 12 счастливым. Поэтому он попросил программиста сделать так, чтобы номера, в которых отсутствует фрагмент «12», не использовались. Например, номер 0812 разрешён к использованию, а номер 5540 нет. Сколько всего различных номеров удовлетворяют этому условию? Подробнейшим образом.

Answer 1

Ответ:

Условию задачи удовлетворяют 299 различных номеров

Пошаговое объяснение:

Из условия задачи следует, что номера могут начинаться нулем или нулями, значит на каждом месте можно использовать любую из 10 цифр.

Зафиксируем последовательность цифр «12» как единое целое.

Тогда возможны три варианта:

1) числа вида $\overline {12xy}.$ Так как каждая неизвестная цифра выбирается одним из 10 способов и выбор одной цифры не зависит от выбора другой, то по правилу произведения таких чисел $10 \cdot 10 = 100$;

2) числа вида $\overline {x12y} ,$ которых также 100;

3) числа вида $\overline {xy12} ,$ которых опять 100.

Во время подсчета вариантов мы дважды (в пп. 1 и 3) посчитали вариант 1212, поэтому его один раз следует отнять от общей суммы.

Выходит, что общее количество разрешенных к использованию номеров равно $100 + 100 + 100 - 1 = 299$.

#SPJ1

Answer 2

Чтобы определить, сколько всего различных номеров удовлетворяют условию, мы можем рассмотреть все возможные комбинации из 4 цифр и исключить те, которые содержат фрагмент "12".

Существует 10 возможных цифр (от 0 до 9), которые могут находиться на каждой позиции номера. Поскольку номер состоит из 4 цифр, всего существует 10^4 = 10,000 возможных комбинаций.

Теперь рассмотрим, сколько из этих комбинаций содержат фрагмент "12". Фрагмент "12" может находиться на 1-й и 2-й позициях, 2-й и 3-й позициях или 3-й и 4-й позициях номера. Таким образом, существует 3 позиции, на которых может находиться фрагмент "12".

На каждой из этих позиций фрагмент "12" может быть совмещен с любыми другими цифрами от 0 до 9 на оставшихся позициях. Это дает 10 возможных комбинаций для каждой позиции.

Таким образом, всего есть 3 * 10 = 30 комбинаций, которые содержат фрагмент "12".

Теперь, чтобы найти количество номеров, удовлетворяющих условию, мы вычитаем количество комбинаций с фрагментом "12" из общего количества комбинаций.

Таким образом, общее количество различных номеров, удовлетворяющих условию, составляет 10,000 - 30 = 9,970.