Question

Довести Тотожність8sin(10)sin(50)sin(70)=1​

Answer 1

Решение.

Применяем формулы синуса двойного угла  $\bf 2\, sin\alpha \cdot cos\alpha =sin2\alpha$  и

$\bf sin(90^\circ -\alpha )=cos\alpha \ \ ,\ \ cos(90^\circ -\alpha )=sin\alpha$  .

$\bf 8sin10^\circ \cdot sin50^\circ \cdot sin70^\circ =\dfrac{8cos10^\circ \cdot sin10^\circ }{cos10^\circ }\cdot cos40^\circ \cdot cos20^\circ =\\\\\\=\dfrac{1}{cos10^\circ }\cdot 4sin20^\circ \cdot cos20^\circ \cdot cos40^\circ =\dfrac{1}{cos10^\circ }\cdot 2sin40^\circ \cdot cos40^\circ =\\\\\\=\dfrac{1}{cos10^\circ }\cdot sin80^\circ =\dfrac{1}{cos10^\circ }\cdot cos10^\circ =1\\\\1=1$  

Answer 2

Давайте розглянемо, як можна довести дану тотожність.

Ми знаємо, що sin(θ) = sin(180° - θ), тому ми можемо переписати ліву частину тотожності таким чином:

8sin(10)sin(50)sin(70) = 8sin(10)sin(50)sin(110)

Тепер давайте застосуємо тригонометричну формулу подвійного кута для синуса:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

У нашому випадку, θ = 110, тому:

sin(220) = 2sin(110)cos(110)

Тепер, використовуючи формулу додавання для синуса, ми можемо розкласти sin(220) на суму двох синусів:

sin(220) = sin(180 + 40) = -sin(40)

Таким чином, отримуємо:

-sin(40) = 2sin(110)cos(110)

Тепер давайте перепишемо sin(110) та cos(110) в термінах sin(70) та cos(70), використовуючи тригонометричні формули для синуса та косинуса:

-sin(40) = 2sin(70)cos(70)

Тепер ми маємо те, що на правій стороні рівняння є сума двох добутків sin(70) та cos(70). Знову використовуючи тригонометричну формулу для синуса подвійного кута, ми можемо записати:

2sin(70)cos(70) = sin(140)

Тепер ми можемо переписати наше рівняння:

-sin(40) = sin(140)

Але ми пам'ятаємо, що sin(θ) = -sin(180° - θ), тому ми можемо переписати праву частину рівняння:

sin(140) = -sin(40)

Таким чином, наше рівняння стає:

-sin(40) = -sin(40)

Оскільки обидві частини рівняння однакові, то тотожність підтверджується.

Таким чином, доведено, що 8sin(10)sin(50)sin(70) = 1.