Question

В некотором случайном опыте наступление события B увеличивает вероятность события A Докажите, что в этом случае наступление события A увеличивает вероятность события B

Answer 1

Ответ:

........................................................

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что наступление события A увеличивает вероятность события B в случае, когда наступление события B увеличивает вероятность события A, можно воспользоваться формулой условной вероятности.

Пусть P(A|B) обозначает условную вероятность события A при условии наступления события B, а P(B|A) - условную вероятность события B при условии наступления события A.

Из условия опыта известно, что наступление события B увеличивает вероятность события A, то есть P(A|B) > P(A).

Также из условия опыта известно, что наступление события A увеличивает вероятность события B, то есть P(B|A) > P(B).

Мы хотим доказать, что P(A) > P(A|B) влечет P(B) > P(B|A).

Для доказательства этого факта рассмотрим следующее:

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|~B) * P(~B), где ~B обозначает отсутствие события B.

Поскольку P(A|B) > P(A), то P(A|~B) * P(~B) > 0.

Вычитая P(A|B) * P(B) из обеих частей, получаем:

P(A) - P(A|B) * P(B) = P(A|~B) * P(~B) > 0.

Разделим это неравенство на P(B):

(P(A) - P(A|B) * P(B)) / P(B) > 0.

Раскроем скобки:

P(A) / P(B) - P(A|B) > 0.

Добавим P(A|B) к обеим частям:

P(A) / P(B) > P(A|B).

Так как P(A) / P(B) > P(A|B), а P(B) > 0 (так как вероятность всегда положительна), получаем:

P(A) > P(A|B).

То есть, если наступление события A увеличивает вероятность события B, то вероятность события A также увеличивается.

Таким образом, доказано, что если наступление события B увеличивает вероятность события A, то наступление события A также увеличивает вероятность события B.