Question

Найдите все решения уравнения 7x-4y=1 в целых числах. Пожалуйста с объяснением

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решим уравнение  7х-4у=29 в целых числах по методу Евклида.

Данное уравнение имеет вид:

ax₀+by₀=A, где a=7, b=-4, A=29

Тогда его решение запишется так:

x=x₀-bt; y=y₀+at, t∈Z

1) Находим наибольший общий делитель чисел 7 и 4.

    Т.к. данные числа являются взаимно-простыми, то НОД(7;4)=1

2) С помощью алгоритма Евклида находим линейное

    представление числа 1 через числа 7 и 4:

   7=4*1+3

   4=3*1+1

   Из последнего равенства выражаем число 1, получаем

  1=4-3*1

   Теперь из первого равенства выражаем число 3 (3=7-4*1) и подставляем

   в представление для числа 1, в итоге получаем:

  1=4-3*1=4-(7-4*1)*1=4-7*1+4*1=-7*1+4*2=7*(-1)-4*(-2)

  Получаем пару чисел х₀=-1*А=-1*29=-29

                                            у₀=-2*А=-2*29=-58

 Данная пара чисел x₀=-29 и y₀=-58

является частным решением уравнения 7х-4у=29

3) Осталось записать общее решение уравнения:

  х=-29+4t, y=-58+7t, t∈Z

   2 метод в фото

Answer 2

Для решения данного уравнения в целых числах мы можем использовать метод нахождения общего решения уравнения с помощью нахождения частного решения и общего видa.

Найдем частное решение уравнения, присвоив переменной x некоторое значение. После этого найдем соответствующее значение y. Выберем произвольное значение x, например, x = 0.

Подставляя x = 0 в уравнение, получаем: 7(0) - 4y = 1 -4y = 1 y = -1/4

Таким образом, мы получили частное решение уравнения: x = 0, y = -1/4.

Теперь найдем общий вид решения. Заметим, что при увеличении значения x на 4, значение y уменьшается на 7, что можно выразить следующей формулой:

x = 0 + 4n, где n - целое число y = -1/4 - 7n

Таким образом, общее решение уравнения 7x - 4y = 1 в целых числах имеет вид: x = 4n y = -1/4 - 7n, где n - целое число.

Подставляя различные значения целого числа n, мы получаем бесконечное множество решений уравнения в целых числах.