Question

Найти остаток 2013^2013 : 5

Answer 1

Ответ: Заметим, что 5^2 = 25 = 26 - 1 = 13*2 - 1

Тогда число 5^(2n) сравнимо по модулю 13 с числом (-1)^n (для доказательства достаточно раскрыть по биному (26 - 1)^n и заметить, что все слагаемые кроме (-1)^n делятся на 26)

Отсюда число 5^2012 = 26^1006 сравнимо по модулю 13 с числом (-1)^1006 = 1. А тогда число 5^2013 = 5 * 5^2012 при делении на 13 даёт остаток.

пж я старалась

Answer 2

Для нахождения остатка от деления числа на 5, мы можем использовать свойство остатка от деления степени числа.

Когда мы делим число на 5, возможные остатки от деления - это 0, 1, 2, 3 или 4. Следовательно, мы можем найти остаток от деления 2013^2013 на 5, найдя остаток от деления каждой степени 2013 на 5.

Мы заметим, что остатки от деления степеней числа 2013 на 5 повторяются в цикле. Давайте рассмотрим первые несколько степеней числа 2013 и найдем их остатки от деления на 5:

2013^1 = 2013 (остаток от деления на 5: 3) 2013^2 = 4052169 (остаток от деления на 5: 4) 2013^3 = 8162937797 (остаток от деления на 5: 2) 2013^4 = 16431568170261 (остаток от деления на 5: 1) 2013^5 = 33046873159643493 (остаток от деления на 5: 3)

Мы видим, что остатки от деления степеней числа 2013 на 5 образуют цикл: 3, 4, 2, 1. Таким образом, чтобы найти остаток от деления 2013^2013 на 5, нам нужно найти остаток от деления 2013^2013 на 4, поскольку 2013^2013 будет иметь тот же остаток от деления на 5, что и 2013^2013-4.

Делим 2013 на 4, чтобы найти остаток:

2013 ÷ 4 = 503 с остатком 1

Теперь мы знаем, что 2013^2013 имеет тот же остаток от деления на 5, что и 2013^1, поскольку 2013^4 имеет остаток 1 при делении на 5. Следовательно, остаток от деления 2013^2013 на 5 равен 3.

Ответ: Остаток от деления 2013^2013 на 5 равен 3.