Question

У прямокутному трикутнику АВС ( ∠C = 90° ) ∠CAB =α , CD – висота, проведена з вершини прямого кута. Знайдіть CD, якщо АB=c .

Answer 1

У прямокутному трикутнику АВС (∠C = 90°) висота CD є опущеною з вершини С на гіпотенузу AB. Оскільки ∠CAB = α, то ∠ACD = 90° - α.

Застосуємо відому теорему Піфагора до прямокутного трикутника ACD:

AC^2 + CD^2 = AD^2

Оскільки AB = c, то AD = c, а тому ми можемо записати:

AC^2 + CD^2 = c^2

Так як трикутник ABC є прямокутним, то за теоремою Піфагора в ньому має місце рівність:

AC^2 + BC^2 = AB^2

Але BC = CD, оскільки CD є висотою, отже:

AC^2 + CD^2 = AB^2

Тоді ми можемо записати:

c^2 = AC^2 + CD^2 = AB^2 = c^2

Отже, має місце рівність:

AC^2 + CD^2 = c^2

Або, підставляючи відоме значення AC = c * cos α:

(c * cos α)^2 + CD^2 = c^2

Розв'язуючи це рівняння відносно CD, отримуємо:

CD^2 = c^2 - (c * cos α)^2

CD = c * sin α

Отже, висота CD, опущена з вершини С на гіпотенузу AB дорівнює CD = c * sin α.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі скористаємося властивостями прямокутних трикутників.

Відомо, що CD є висотою трикутника ABC, і він перпендикулярний до сторони AB. Зверніть увагу, що пряма, проведена з вершини прямого кута трикутника до середини протилежної сторони, завжди є висотою.

Оскільки AB=c, ми маємо гіпотенузу прямокутного трикутника ABC. Задача полягає в знаходженні висоти CD.

Застосуємо тригонометричну функцію синуса до трикутника ABC:

sin(α) = CD/AB

CD = AB * sin(α)

Отже, CD = c * sin(α).

Таким чином, висота CD трикутника ABC дорівнює c * sin(α).