Question

3. Доведіть, що чотирикутник ABCD, вершини якого точки A(- 1; 5) B(1; 1) C(6; 4) D(4; 8) є паралело- грамом.

Answer 1

Відповідь:

Доведенно

Покрокове пояснення:

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, потрібно показати, що його протилежні сторони паралельні.

Для початку, ми можемо знайти вектори, які відповідають сторонам AB, BC, CD та DA. Для цього можна відняти координати початкової точки від координат кінцевої точки, якщо розглядати точки як вектори.

Вектор AB = B - A = (1, 1) - (-1, 5) = (2, -4)

Вектор BC = C - B = (6, 4) - (1, 1) = (5, 3)

Вектор CD = D - C = (4, 8) - (6, 4) = (-2, 4)

Вектор DA = A - D = (-1, 5) - (4, 8) = (-5, -3)

Тепер, щоб перевірити, чи є протилежні сторони паралельними, потрібно порівняти вектори, які відповідають протилежним сторонам. Якщо вони рівні або пропорційні, то сторони паралельні.

AB || CD, якщо вектор AB = вектор CD.

(2, -4) = (-2, 4) * (-1)

BC || DA, якщо вектор BC = вектор DA.

(5, 3) = (-5, -3) * (-1)

Отже, ми бачимо, що протилежні сторони чотирикутника ABCD є паралельними, що доводить, що ABCD є паралелограмом.

Ось і все.

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник ABCD є паралелограмом, необхідно показати, що протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні.

Для цього можемо скористатися властивостями координат точок.

Спочатку розглянемо вектори сторін AB і CD. Вектор AB можна обчислити як різницю координат точок B і A:

AB = (1 - (-1), 1 - 5) = (2, -4).

Аналогічно, вектор CD можна обчислити як різницю координат точок D і C:

CD = (4 - 6, 8 - 4) = (-2, 4).

Тепер порівняємо ці два вектори. Якщо вони рівні, то сторони AB і CD паралельні:

AB = CD ⇔ (2, -4) = (-2, 4).

Це рівняння не виконується, тому сторони AB і CD не паралельні.

Тепер розглянемо вектори сторін BC і AD. Вектор BC можна обчислити як різницю координат точок C і B:

BC = (6 - 1, 4 - 1) = (5, 3).

Аналогічно, вектор AD можна обчислити як різницю координат точок A і D:

AD = (-1 - 4, 5 - 8) = (-5, -3).

Тепер порівняємо ці два вектори. Якщо вони рівні, то сторони BC і AD паралельні:

BC = AD ⇔ (5, 3) = (-5, -3).

Це рівняння не виконується, тому сторони BC і AD не паралельні.

Отже, ми прийшли до висновку, що ні протилежні сторони AB і CD, ні протилежні сторони BC і AD не є паралельними. Тому чотирикутник ABCD не є паралелограмом.