Question

2. Периметр прямокутника ндорівнює 62 см, а точка перетину діагоналей вiддалена нiєï iз його сторiн на 12 см. Знайти довжину діагоналі прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Нехай сторони прямокутника мають довжини a та b. За умовою задачі, периметр прямокутника дорівнює 62 см, тому маємо:

2a + 2b = 62 або a + b = 31

Також за умовою задачі, відстань від точки перетину діагоналей до сторін прямокутника дорівнює 12 см. Оскільки точка перетину діагоналей є центром кола, описаного навколо прямокутника, то з теореми Піфагора для трикутника, утвореного діагоналями прямокутника, маємо:

(0.5a)^2 + (0.5b)^2 = d^2,

де d - довжина діагоналі прямокутника.

Звідси отримуємо:

d^2 = 0.25a^2 + 0.25b^2

d^2 = (a^2 + b^2)/4

Далі, застосовуючи теорему Піфагора до прямокутного трикутника зі сторонами a та b, маємо:

d^2 = a^2 + b^2

Підставляємо a + b = 31 у вираз для d^2, щоб виразити діагональ через сторони:

d^2 = (a^2 + b^2)/4 = (a + b)^2/4 = 31^2/4 = 240.25

Отже, довжина діагоналі прямокутника дорівнює:

d = sqrt(240.25) ≈ 15.5 см.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте позначимо сторони прямокутника як x та y (x - довжина, y - ширина).

Ми знаємо, що периметр прямокутника складає 62 см, що можна записати так:

2x + 2y = 62 (1)

Також нам дано, що точка перетину діагоналей віддалена від сторін на 12 см. Це означає, що половина однієї діагоналі дорівнює половині іншої діагоналі плюс 12 см:

0.5x + 12 = 0.5y (2)

Ми маємо систему з двох рівнянь (1) і (2), і можемо вирішити її, щоб знайти значення x та y.

Розглянемо рівняння (2):

0.5x + 12 = 0.5y

Перенесемо 0.5x на ліву сторону та 0.5y на праву:

0.5x - 0.5y = -12 (3)

Помножимо рівняння (3) на 2, щоб позбутися від знаменника:

x - y = -24 (4)

Тепер ми маємо систему з рівнянь (1) та (4):

2x + 2y = 62 (1) x - y = -24 (4)

Можна використати метод елімінації, додавши рівняння (1) та (4) разом:

2x + 2y + x - y = 62 - 24

3x + y = 38 (5)

Зараз у нас є два рівняння: (4) та (5).

Розглянемо рівняння (4):

x - y = -24

Помножимо це рівняння на 3, щоб отримати коефіцієнт x такий самий, як у рівнянні (5):

3x - 3y = -72 (6)

Тепер додамо рівняння (6) та (5) разом:

(3x + y) + (3x - 3y) = 38 - 72

6x - 2y = -34

Поділимо обидві частини на 2, щоб спростити рівняння:

3x - y = -17 (7)

Тепер ми маємо систему з рівнянь (5) та (7):

3x + y