Question

Исследуйте функцию и постройье её график y=x^3+3x^2+2​

Answer 1

відповідь на фото

__________

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика y = x^3 + 3x^2 + 2, мы можем проанализировать следующие аспекты:

1. Область определения: Функция определена для любого действительного значения x.

2. Производная: Найдем производную функции, чтобы найти точки экстремума и определить её возрастание и убывание.

   y' = 3x^2 + 6x

   Найдем точки, где производная равна нулю:

   3x^2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0

   Из этого уравнения получаем две точки: x = 0 и x = -2.

   Используя тест знаков, можно установить, что функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞), и убывает на интервале (-2, 0).

3. Вторая производная: Найдем вторую производную для определения выпуклости и вогнутости функции.

   y'' = 6x + 6

   Вторая производная положительна для всех значений x, что указывает на то, что функция является выпуклой вверх.

4. Точки пересечения с осями: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем функцию к нулю и решим уравнение:

   x^3 + 3x^2 + 2 = 0

   Нет простого аналитического способа решения этого кубического уравнения. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти его корни. Один из корней равен приблизительно -2.207.

5. Поведение при x → ±∞: Когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, функция также стремится к положительной бесконечности.

Исходя из этой информации, мы можем построить график функции y = x^3 + 3x^2 + 2, учитывая все вышеупомянутые характеристики функции.