Question

Даю 20 баллов напишите так же как вы это решали (если что язык украинский, если придется перевести) знайдіть відстань від точки m0 (-4; -13; 6) до площини що проходіть через три точки m1 (0; -1; -1) m2(-2; 3; 5) m3(1; -5; -9)

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости, которая проходит через три точки М₁ (0; -1; -1), М₂ (-2; 3; 5), М₃ (1; -5; -9) равно 6√5 ед.

Пошаговое объяснение:

Найдите расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости, которая проходит через три точки М₁ (0; -1; -1), М₂ (-2; 3; 5), М₃ (1; -5; -9).

Сначала составим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

• Общее уравнение плоскости имеет вид:
• $\boxed {\displaystyle \bf Ax+By+Cz+D=0 }$

Если точка принадлежит плоскости, то, подставив ее координаты в уравнение плоскости, получим верное равенство.

Подставим координаты данных точек в уравнение плоскости и решим систему из трех уравнений.

$\displaystyle \bf \begin{equation*} \begin{cases} A\cdot0+B\cdot(-1)+C\cdot(-1)+D=0 \\ A\cdot(-2)+B\cdot3+C\cdot5+D=0 \\ A\cdot1+B\cdot(-5)+C\cdot(-9)+D=0 \end{cases}\end{equation*}$

$\displaystyle \bf \begin{equation*} \begin{cases} -B-C+D=0 \\ -2A+3B+5C+D=0 \\ A-5B-9C+D=0 \end{cases}\end{equation*}$

Из первого уравнения выразим D  и подставим во второе и третье:

D = B + C

$\displaystyle \bf \begin{equation*} \begin{cases} -2A+3B+5C+B+C=0 \\ A-5B-9C+B+C=0 \end{cases}\end{equation*}$

$></p> <p>        <img src=$

$\displaystyle A=-2C\\\\4C+4B+6C=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;B=-\frac{5}{2}C\\ \\D=-\frac{5}{2}C+C \;\;\;\Rightarrow \;\;\;D=-\frac{3}{2}C$

Подставим найденные значения в уравнение плоскости:

$\displaystyle -2Cx-\frac{5}{2}Cy +Cz-\frac{3}{2}C=0\;\;\;|:C,\;C\neq 0\\ \\-2x-\frac{5}{2}y+z-\frac{3}{2}=0\;\;\;|\cdot 2\\\\\\\boxed { -4x-5y+2z -3=0}$

Теперь можем найти расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости по формуле:

• $\boxed {\displaystyle d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}} }$

$\displaystyle d=\frac{|-4\cdot(-4)-5\cdot(-13)+2\cdot6-3|}{ \sqrt{16+25+4}}=\\\\=\frac{|16+65+12-3|}{\sqrt{45} } =\frac{90}{3\sqrt{5} } =\frac{30\sqrt{5} }{5}=6\sqrt{5}$

Расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости, которая проходит через три точки М₁ (0; -1; -1), М₂ (-2; 3; 5), М₃ (1; -5; -9) равно 6√5 ед.

Answer 2

Щоб знайти відстань від точки M0 (-4; -13; 6) до площини, що проходить через три точки M1 (0; -1; -1), M2 (-2; 3; 5) та M3 (1; -5; -9), ми можемо скористатись формулою для обчислення відстані від точки до площини.

1. Спочатку знайдемо вектори, що лежать в площині, використовуючи точки M1, M2 та M3. Для цього віднімемо координати точки M1 від координат точок M2 та M3: v1 = M2 - M1 = (-2; 3; 5) - (0; -1; -1) = (-2; 4; 6) v2 = M3 - M1 = (1; -5; -9) - (0; -1; -1) = (1; -4; -8)

2. Знайдемо нормальний вектор площини, обчисливши її векторний добуток. Для цього використаємо вектори v1 та v2: n = v1 × v2

   Для обчислення векторного добутку потрібно знайти компоненти n = (nx; ny; nz) за формулою: nx = v1y * v2z - v1z * v2y ny = v1z * v2x - v1x * v2z nz = v1x * v2y - v1y * v2x

   Підставимо значення векторів v1 та v2: nx = 4 * (-8) - 6 * (-4) = -32 - (-24) = -32 + 24 = -8 ny = 6 * 1 - (-2) * (-8) = 6 + 16 = 22 nz = (-2) * (-4) - 4 * 1 = 8 - 4 = 4

   Отже, нормальний вектор площини: n = (-8; 22; 4).

3. Підставимо координати точки M0 в рівняння площини, щоб знайти відстань: Ax + By + Cz + D = 0, де (A, B, C) - компоненти нормального вектора площини, а (x, y, z) - координати точки M0.

   Підставимо значення: -8x + 22y + 4z + D = 0.

   Так як ми не знаємо значення D, обчислення точної відстані неможливе.