Question

Найдите производную функции: у=2/(х-1)^2+8/(5х^2+3х-7

Answer 1

Ответ: $-\frac{4}{(x-1)^{3}} -\frac{80x+24}{(5x^{2} +3x-7)^{2} }$

Пошаговое решение: дана функция.

$y=\frac{2}{(x-1)^{2} } +\frac{8}{5x^{2} +3x-7}$

Общая производная функции равна сумме отдельных производных слагаемых.

$y'=(\frac{2}{(x-1)^{2} } +\frac{8}{5x^{2} +3x-7})'=(\frac{2}{(x-1)^{2}} )'+(\frac{8}{5x^{2} +3x-7})'=(2(x-1)^{-2} )'+$

$+(8(5x^{2} +3x-7)^{-1} )'=2*(-2)(x-1)^{-2-1} +8*(-1)(5x^{2} +3x-7)^{-1-1} *$

$*(5x^{2} +3x-7)'=-4(x-1)^{-3} -8(5x^{2} +3x-7)^{-2} *(10x+3)=$$=-\frac{4}{(x-1)^{3}} -\frac{8(10x+3)}{(5x^{2} +3x-7)^{2} } =-\frac{4}{(x-1)^{3}} -\frac{80x+24}{(5x^{2} +3x-7)^{2} }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y, состоящей из двух слагаемых, мы можем использовать правила дифференцирования для суммы функций. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности и затем сложим результаты.

1. Для первого слагаемого y₁ = 2/(x-1)^2: Применим правило дифференцирования для функции f(x) = 1/u(x), где u(x) = (x-1)^2. f'(x) = -u'(x)/[u(x)]^2

u'(x) = 2(x-1) (производная функции (x-1)^2) Таким образом: f'(x) = -2(x-1)/[(x-1)^2]^2 = -2(x-1)/(x-1)^4 = -2/(x-1)^3

Теперь умножим f'(x) на 2, чтобы получить производную первого слагаемого y₁: y₁' = 2 * (-2/(x-1)^3) = -4/(x-1)^3

2. Для второго слагаемого y₂ = 8/(5x^2 + 3x - 7): Для этого слагаемого мы можем использовать правило дифференцирования для функции f(x) = 1/u(x), где u(x) = 5x^2 + 3x - 7. f'(x) = -u'(x)/[u(x)]^2

u'(x) = 10x + 3 (производная функции 5x^2 + 3x - 7) Таким образом: f'(x) = -(10x + 3)/(5x^2 + 3x - 7)^2

Теперь умножим f'(x) на 8, чтобы получить производную второго слагаемого y₂: y₂' = 8 * (-(10x + 3)/(5x^2 + 3x - 7)^2) = -(80x + 24)/(5x^2 + 3x - 7)^2

Наконец, сложим производные каждого слагаемого, чтобы получить производную исходной функции y: y' = y₁' + y₂' = (-4/(x-1)^3) + (-(80x + 24)/(5x^2 + 3x - 7)^2) = -4/(x-1)^3 - (80x + 24)/(5x^2 + 3x - 7)^2

Таким образом, производная функции y равна -4/(x-1)^3 - (80x + 24)/(5x^2 + 3x - 7)^2.