Question

Докажите что если a+b=4,то a^2-2b>=-9

Answer 1

Ответ:

a+b=4, поэтому мы можем заменить (a+b) на 4 в неравенстве a^2-2b>=-9

а^2-2б>=-9

Теперь мы можем упростить неравенство, возведя в квадрат a.

а^2-2б>=-9

а^2>=-9+2b

Теперь мы можем добавить 9 к обеим частям неравенства

а^2+9>=2б

Теперь мы можем факторизовать левую часть неравенства

(а+3)(а-3)>=2б

Теперь мы видим, что левая часть всегда больше или равна нулю, поэтому неравенство всегда верно.

Следовательно, если a+b=4, то верно a^2-2b>=-9.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, начнем с предположения, что a + b = 4, где a и b - произвольные действительные числа.

Используя это предположение, мы можем выразить переменную a через b, или наоборот:

a = 4 - b (1) b = 4 - a (2)

Теперь мы можем заменить значение a в выражении a^2 - 2b >= -9, используя уравнение (1):

(4 - b)^2 - 2b >= -9

Раскрывая скобки:

(16 - 8b + b^2) - 2b >= -9

Приведем подобные слагаемые:

16 - 10b + b^2 >= -9

Перенесем все члены в одну сторону:

b^2 - 10b + 25 >= 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Уравнение имеет вид ax^2 + bx + c >= 0. Для того, чтобы квадратное уравнение было неотрицательным (>= 0), у него должно быть либо два действительных корня, либо один корень с кратностью.

Дискриминант D для данного уравнения равен:

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0

Так как D = 0, у уравнения есть один действительный корень с кратностью. Это означает, что уравнение b^2 - 10b + 25 = 0 имеет один корень, равный 5.

Таким образом, для всех значений b, отличных от 5, неравенство b^2 - 10b + 25 >= 0 будет выполняться.

Исходя из предположения a + b = 4, мы можем установить, что a не равно 5, так как это привело бы к b = -1, что противоречит ограничению b >= 0 (по определению неравенства).

Таким образом, для всех возможных значений a и b, удовлетворяющих условию a + b = 4, выполняется неравенство a^2 - 2b >= -9.