Question

Найдите пожалуйста экстремум функции z = −x^2 + xy + y^2 − 2x + 6y + cos5

Answer 1

Відповідь: z/x=-2x+y-2

Покрокове пояснення: решение на фото

Answer 2

Для поиска экстремумов функции z = −x^2 + xy + y^2 − 2x + 6y + cos(5), необходимо вычислить её частные производные по переменным x и y и найти точки, где обе частные производные равны нулю.

Вычислим частные производные функции z по x и y:

∂z/∂x = -2x + y - 2 ∂z/∂y = x + 2y + 6

Чтобы найти точки экстремума, решим следующую систему уравнений:

-2x + y - 2 = 0 ...(1) x + 2y + 6 = 0 ...(2)

Для этого преобразуем систему уравнений:

Из уравнения (1) получаем: y = 2x + 2

Подставим значение y из уравнения (1) в уравнение (2): x + 2(2x + 2) + 6 = 0 x + 4x + 4 + 6 = 0 5x + 10 = 0 5x = -10 x = -2

Подставим значение x = -2 в уравнение (1): y = 2(-2) + 2 y = -2 + 2 y = 0

Таким образом, найдены значения x = -2 и y = 0, которые являются точкой экстремума функции z.

Для определения типа экстремума (минимум или максимум) вычислим вторые частные производные:

∂^2z/∂x^2 = -2 ∂^2z/∂y^2 = 2

Так как ∂^2z/∂x^2 < 0, то это указывает на максимум или седловую точку. Для определения типа экстремума по y-переменной, рассмотрим гессиан функции:

H = (∂^2z/∂x^2)(∂^2z/∂y^2) - (∂^2z/∂x∂y)^2

∂^2z/∂x∂y = 1

Подставим значения в гессиан:

H = (-2)(2) - (1)^2 H = -4 - 1 H = -5

Так как H < 0, то это указывает на седловую точку.

Таким образом, найденная точка (-2, 0) является седловой точкой функции z = −x^2 + xy + y^2 − 2x + 6y + cos(5).