Question

- Найдите наименьший положительный корень уравнения cos12x+cos 6x+1=0.​

Answer 1

$\cos12x+\cos 6x+1=0$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$(2\cos^26x-1)+\cos 6x+1=0$

$2\cos^26x+\cos 6x=0$

$\cos 6x(2\cos6x+1)=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos 6x=0\\ 2\cos6x+1=0\end{array}\right.$

Решаем первое уравнение совокупности:

$\cos 6x=0$

$6x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n$

$\boxed{x_1=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{6} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение совокупности:

$2\cos6x+1=0$

$2\cos6x=-1$

$\cos6x=-\dfrac{1}{2}$

$6x=\pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2} \right)+2\pi n$

$6x=\pm\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n$

$x=\pm\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3}$

$\boxed{x_2=\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} ;\ x_3=-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Выполним отбор корней. Для каждой серии найдем наименьший положительный корень.

Для первой серии:

$\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{6} > 0$

$\dfrac{1 }{12} +\dfrac{ n}{6} > 0$

$\dfrac{ n}{6} > -\dfrac{1 }{12}$

$n > -\dfrac{1 }{2}$

При $n=0$:

$x=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi\cdot0}{6}=\boxed{\dfrac{\pi }{12}}$

Для второй серии:

$\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} > 0$

$\dfrac{1 }{9} +\dfrac{n}{3} > 0$

$\dfrac{n}{3} > -\dfrac{1 }{9}$

$n > -\dfrac{1 }{3}$

При $n=0$:

$x=\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi\cdot0}{3}=\boxed{\dfrac{\pi }{9}}$

Для третьей серии:

$-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} > 0$

$-\dfrac{1 }{9} +\dfrac{n}{3} > 0$

$\dfrac{n}{3} > \dfrac{1 }{9}$

$n > \dfrac{1 }{3}$

При $n=1$:

$x=-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi\cdot1}{3}=-\dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi}{3}=\boxed{\dfrac{2\pi }{9}}$

Для трех найденных корней выполняется соотношение:

$\dfrac{\pi }{12} < \dfrac{\pi }{9} < \dfrac{2\pi }{9}$

Значит, наименьший положительный корень равен п/12.

Ответ: п/12

Answer 2

Для решения уравнения cos(12x) + cos(6x) + 1 = 0, мы можем использовать численные методы или графический метод. Однако, в данном случае, мы можем воспользоваться аналитическим подходом.

Поскольку у нас есть сумма косинусов, мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов:

cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)

Применим эту формулу для исходного уравнения:

cos(12x) + cos(6x) + 1 = 0

2 * cos((12x + 6x) / 2) * cos((12x - 6x) / 2) + 1 = 0

2 * cos(9x) * cos(3x) + 1 = 0

Теперь мы можем заменить cos(9x) * cos(3x) на новую переменную, например, пусть y = cos(9x) * cos(3x). Тогда уравнение примет вид:

2y + 1 = 0

Решая это уравнение, мы найдем значение y:

2y = -1 y = -1/2

Теперь мы можем заменить y обратно на выражение cos(9x) * cos(3x):

cos(9x) * cos(3x) = -1/2

Теперь мы должны найти значения x, удовлетворяющие этому равенству.

Так как cos(9x) принадлежит интервалу [-1, 1] и cos(3x) принадлежит интервалу [-1, 1], то -1/2 может быть достигнуто только при cos(9x) = -1 и cos(3x) = 1, или при cos(9x) = 1 и cos(3x) = -1.

Рассмотрим первый случай:

cos(9x) = -1

9x = π + 2πn, где n - целое число

x = (π + 2πn) / 9

Рассмотрим второй случай:

cos(3x) = -1

3x = π + 2πm, где m - целое число

x = (π + 2πm) / 3

Теперь мы можем найти наименьшие положительные корни для каждого случая.

Для первого случая (cos(9x) = -1):

x = (π + 2πn) / 9, где n = 0, 1, 2, ...

Наименьший положительный корень для этого случая будет получен, когда n = 0:

x = π / 9

Для второго случая (cos(3x) = -1):

x = (π + 2πm) / 3, где m = 0, 1