Question

Помогите решить уравнение 3(cosx+1)=sin^2x

Answer 1

Ответ:

Тригонометрическое уравнение приводим к квадратному уравнению относительно функции  y=cosx  , применив следствие из тождества "тригонометрическая единица" : $\bf sin^2x=1-cos^2x$   .

$\bf 3\, (cosx+1)=sin^2x\\\\3\, cosx+3-sin^2x=0\\\\3\, cosx+3-(1-cos^2x)=0\\\\cos^2x+3\, cosx+2=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (cosx)_1=-1\ ,\ (cosx)_2=-2\ \ (Viet)\\\\a)\ \ cosx=-1\ \ ,\ \ \ x=\pi +2\pi n\ ,\ \ x=\pi (2n+1)\ \ ,\ n\in Z\ ,\\\\b)\ \ cosx=-2\ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing \ ,\ tak\ kak\ \ -1\leq cosx\leq 1\ .\\\\\boldsymbol{Otvet:\ \ x=\pi (2n+1)\ ,\ n\in Z}$  

Answer 2

Конечно! Давайте решим уравнение по порядку:

3(cos(x) + 1) = sin^2(x)

Сначала раскроем скобки:

3cos(x) + 3 = sin^2(x)

Затем заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (используя тригонометрическую тождественность):

3cos(x) + 3 = 1 - cos^2(x)

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

cos^2(x) + 3cos(x) + 2 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(cos(x) + 1)(cos(x) + 2) = 0

Таким образом, мы получили два возможных решения:

1. cos(x) + 1 = 0 => cos(x) = -1 => x = π + 2πn, где n - целое число.

2. cos(x) + 2 = 0 => cos(x) = -2 (нет решений, так как косинус не может быть больше 1 или меньше -1)

Итак, решение уравнения 3(cos(x) + 1) = sin^2(x) будет x = π + 2πn, где n - целое число.