Question

Обчисліть інтеграл: 1∫0(2x+1)³ dx

Answer 1

Щоб обчислити інтеграл ∫(2x+1)³ dx від 0 до 1, використаємо формулу для інтегрування степеневої функції:

∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C,

де n ≠ -1 і C - константа інтегрування.

Застосуємо цю формулу до кожного доданка у виразі (2x+1)³:

∫(2x+1)³ dx = ∫8x³ + 12x² + 6x + 1 dx

Застосуємо формулу для кожного доданка:

∫8x³ dx = (8/4)x⁴ = 2x⁴
∫12x² dx = (12/3)x³ = 4x³
∫6x dx = 6/2)x² = 3x²
∫1 dx = x

Тепер, обчислимо відповідний вираз для кожного доданка:

∫(2x+1)³ dx = 2x⁴ + 4x³ + 3x² + x

Щоб знайти значення від 0 до 1, вставимо межі інтегрування:

∫(2x+1)³ dx = 2(1)⁴ + 4(1)³ + 3(1)² + (1) - (2(0)⁴ + 4(0)³ + 3(0)² + (0))

= 2 + 4 + 3 + 1 - 0 - 0 - 0 - 0

= 10.

Таким чином, значення інтегралу ∫(2x+1)³ dx від 0 до 1 дорівнює 10.

Answer 2

Щоб обчислити цей інтеграл, ми можемо застосувати формулу підстановки. Спочатку розглянемо підстановку:

Припустимо, що u = 2x + 1. Тоді можна записати dx = du/2.

Змінюємо межі інтегрування:

Коли x = 0, u = 2(0) + 1 = 1. Коли x = 1, u = 2(1) + 1 = 3.

Тепер ми можемо переписати інтеграл з урахуванням підстановки:

∫[0,1] (2x + 1)³ dx = ∫[1,3] u³ (du/2)

Ділимо кожен член під інтегралом на 2:

(1/2) ∫[1,3] u³ du

Застосовуємо формулу для інтегрування степеневої функції:

(1/2) * [(u^4)/4] + C

Підставляємо верхню та нижню межі:

= (1/2) * [(3^4)/4] - (1/2) * [(1^4)/4] + C

= (1/2) * (81/4) - (1/2) * (1/4) + C

= 81/8 - 1/8 + C

= 80/8 + C

= 10 + C

Таким чином, остаточний результат інтегрування даної функції є 10 + C, де C - це довільна константа.