Question

Помогите даю 25 баллов срочно! Знайти загальний розв’язок (ДР з відокремлювальними змінними) 2(xy + y)dx = xdy

Answer 1

Ответ:

ДУ с разделяющимися переменными .

$\displaystyle \bf 2(xy+y)\, dx=x\, dy\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2y\, (x+1)\, dx=x\, dy\ \ ,\\\\\\\int \frac{2(x+1)}{x}\, dx=\int \frac{dy}{y}\ \ \ ,\ \ \ \int \Big(2+\frac{2}{x}\Big)\, dx=\int \frac{dy}{y}\ \ ,\\\\\\2x+2\, ln|\, x\, |=ln|\, y\, |+C\\\\ln|\, y\, |=2x+lnx^2-C$  

Answer 2

Щоб знайти загальний розв'язок цього диференціального рівняння з відокремлювальними змінними, розділимо обидві частини рівняння на (xy + y):

2(xy + y)dx = xdy

Розділимо на (xy + y):

2dx = (xdy) / (xy + y)

Поділимо чисельник і знаменник правої частини на y:

2dx = (xdy) / (y(x + 1))

Зараз ми можемо розділити змінні, помістивши dx на одну сторону рівняння, а дільник на іншу:

(2 / x)dx = (dy) / (y(x + 1))

Проінтегруємо обидві частини:

∫(2 / x)dx = ∫(dy) / (y(x + 1))

2ln|x| = ln|y| + ln|x + 1| + C

Де C - це довільна константа інтеграції.

Можна спростити логарифмічні вирази, використовуючи властивості логарифмів:

ln|x^2| = ln|y(x + 1)| + C

Використовуючи властивість логарифмів, ми можемо записати це як:

x^2 = y(x + 1)e^C

Замість e^C ми можемо записати нову константу, скажімо, A:

x^2 = Ay(x + 1)

Отримали загальний розв'язок диференціального рівняння з відокремлювальними змінними:

x^2 = Ay(x + 1), де A - довільна константа.