Question

Найти интеграл Интеграл (dx)/(x(1+lnx)

Answer 1

Ответ:

$\ln | \ln x+ 1| + C$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits {\frac{1}{x(1 + \ln x)} } \, dx$

Заметим , что

$(\ln x )'= \dfrac{1}{x} \\\\ \dfrac{1}{x} ~ d(x) = d(\ln x)$

Таким образом

$\displaystyle \int\limits {\frac{1}{x(1 + \ln x)} } \, dx = \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \, d(1+\ln x )$

Введя замену   1 + ln x = t ,  получаем

$\displaystyle \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \, d(1+\ln x ) = \int\limits {\frac{1}{t } \, d(t ) = \ln |t | + C = \ln | \ln x+ 1| + C$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(dx)/(x(1+ln(x))), мы можем воспользоваться методом замены переменных.

Пусть u = 1 + ln(x), тогда du = (1/x)dx. Мы можем решить это уравнение относительно dx, чтобы выразить его через du:

dx = xdu.

Заменив dx и x в исходном интеграле, получим:

∫(dx)/(x(1+ln(x))) = ∫(xdu)/(x(u)) = ∫(du)/u.

Теперь мы получили простой интеграл ∫(du)/u, который может быть решен простым способом:

∫(du)/u = ln|u| + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь заменим обратно u на его исходное выражение:

ln|u| + C = ln|1 + ln(x)| + C,

таким образом, окончательный ответ:

∫(dx)/(x(1+ln(x))) = ln|1 + ln(x)| + C,

где C - произвольная постоянная.