Question

4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1, [– 4; – 1/3].

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x) = x³ + 3x² – 9x – 1; [– 4; – 1/3].

f'(x₀) = 0 - это необходимое условие существования экстремума функции в точке х₀

f'(x) = 3x² + 6x - 9

3x² + 6x - 9 =0; ⇒ x₁ = 1 ; x₂ = -3

точка x₁ = 1 не входит в отрезок [– 4; – 1/3], ее не рассматриваем

ищем значение функции в точке экстремума и на концах отрезка

(-3) = 26

f(-4) = 19

$f(-\frac{1}{3}) = 2\frac{8}{27}$

$f_{min} = 2\frac{8}{27}$

$f_{max}= 26$

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке, мы сначала найдем критические точки функции, а затем проверим значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.

1. Найдем критические точки, вычислив производную функции и приравняв ее к нулю: f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1 f'(x) = 3x^2 + 6x - 9

Для нахождения критических точек решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 + 6x - 9 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 или метод полного квадрата. Однако в данном случае мы можем упростить уравнение, поделив его на 3: x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь можем факторизовать это уравнение: (x + 3)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения для x: x = -3 и x = 1. Это наши критические точки.

2. Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах отрезка [-4, -1/3].

• Для x = -4: f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) - 1 = -20

• Для x = -1/3: f(-1/3) = (-1/3)^3 + 3(-1/3)^2 - 9(-1/3) - 1 = -1/27 + 1/3 + 3/27 - 1 = -25/27

• Для x = -3: f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 1 = -7

• Для x = 1: f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 1 = -6

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-4, -1/3] равно -20, а наибольшее значение равно -6.