Question

Сколькими нулями оканчивается произведение чисел 20*21*22*....2020?

Answer 1

Чтобы найти сколькими нулями оканчивается произведение нужно найти сколько раз в этом произведении встречается множитель 10.

Заметим, что 10 раскладывается на простые множители как 10=2·5. Очевидно, сомножителей "2" будет больше чем сомножителей "5". Таким образом, нужно узнать число множителей "5" в произведении. Каждый такой множитель в паре с множителем "2" даст множитель "10" и соответственно дополнительный ноль на конце числа.

Найдем, сколько чисел содержит множитель "5". Всего среди первых 2020 натуральных чисел таких чисел $\dfrac{2020}{5} =404$, но в данном произведении отсутствуют первых три числа кратные 5 (5, 10, 15). Значит, множитель "5" содержит 404-3=401 число.

Но некоторые числа содержат не один множитель "5", а два. Найдем количество таких чисел.

Для этого разделим 2020 на $5^2$:

$\dfrac{2020}{5^2} =\dfrac{2020}{25} =80\dfrac{20}{25}$

Значит, последнее число, которое содержит в своем составе два множителя "5" - это число $80\cdot25$. Первое такое число - очевидно, 25. Значит, всего таких чисел 80.

Еще некоторые числа содержат три множителя "5". Найдем количество таких чисел. Для этого разделим 2020 на $5^3$:

$\dfrac{2020}{5^3} =\dfrac{2020}{125} =16\dfrac{20}{125}$

Значит, последнее число, которое содержит в своем составе три множителя "5" - это число $16\cdot125$. Первое такое число - 125. Значит, всего таких чисел 16.

И, наконец, некоторые числа содержат сразу четыре множителя "5". Найдем их количество. Для этого разделим 2020 на $5^4$:

$\dfrac{2020}{5^4} =\dfrac{2020}{625} =3\dfrac{145}{625}$

Значит, последнее число, которое содержит в своем составе четыре множителя "5" - это число $3\cdot625$. Первое такое число - 625. Значит, всего таких чисел 3.

Чисел, кратных $5^5=3125$ среди множителей нет.

Итак, 401 число содержат в своем составе множитель "5", 80 чисел содержат второй множитель "5", 16 чисел содержит третий множитель "5" и 3 числа содержат четвертый множитель "5". Значит, всего множителей "5" имеется:

$401+80+16+3=500$

Значит, число $20\cdot21\cdot22\cdot...\cdot2020$ оканчивается 500 нулями.

Ответ: 500

Answer 2

Чтобы определить количество нулей в конце произведения чисел от 20 до 2020, нужно рассмотреть, сколько раз произведение будет делиться на 10. Число 10 разлагается на простые множители 2 и 5, поэтому нужно посмотреть, сколько раз произведение будет содержать множители 2 и 5.

В данном случае каждое второе число является четным и содержит один множитель 2. Таким образом, количество множителей 2 в произведении будет равно половине количества чисел, то есть (2020 - 20 + 1) / 2 = 1000.

Чтобы посчитать количество множителей 5, нужно рассмотреть числа, которые содержат множитель 5 или его степень. Таких чисел будет гораздо меньше, чем чисел, содержащих множитель 2. Числа, оканчивающиеся на 5, уже содержат один множитель 5. Однако также нужно учесть числа, оканчивающиеся на 25, 50, 75 и 100 и т.д., так как они содержат множитель 5 в квадрате.

Чтобы определить количество таких чисел, можно разделить каждое число от 20 до 2020 на 5, затем каждое полученное число снова разделить на 5 и так далее, пока результат не станет меньше 5.

Количество чисел, которые можно поделить на 5, равно (2020 - 20) / 5 = 400. Количество чисел, которые можно поделить на 25, равно (2020 - 20) / 25 = 80. Количество чисел, которые можно поделить на 125, равно (2020 - 20) / 125 = 16. Количество чисел, которые можно поделить на 625, равно (2020 - 20) / 625 = 3.

Теперь нужно сложить все эти значения: 400 + 80 + 16 + 3 = 499.

Таким образом, в произведении чисел от 20 до 2020 содержится минимум 499 множителей 5.

Так как количество множителей 2 (1000) больше количества множителей 5 (499), то количество нулей в конце произведения будет равно 499.