Question

Найди, в какой точке графика функции y=f(x) касательная параллельна заданной прямой: y=2+3x, f(x)=x^3/3−3x^2+12x−8. Ответ (при необходимости округли с точностью до десятых): касательная параллельна заданной прямой в точке с координатами

Answer 1

Из уравнения прямой найдем угловой коэффициент касательной:

y= 2+3x,

y' = 3.

Найдём производную функции y = f(x).

y'=f '(x) = x² - 6x + 12.

x² - 6x + 12 = 3.

x² - 6x + 9 = 0,

x² - 2·3·x + 3² = 0,

(x - 3)² = 0,

x-3 = 0,

x = 3.

f(3) = (3³/3) - 3·3² + 12·3 - 8 = 3² - 3·9 + 36 - 8 = 9 - 27 + 28 = 9+1 = 10.

Ответ. Касательная параллельна заданной прямой в точке с координатами (3;10).

Answer 2

Чтобы найти точку на графике функции, в которой касательная параллельна заданной прямой, мы должны найти точку, в которой производная функции равна коэффициенту наклона прямой.

Заданная прямая имеет уравнение y = 2 + 3x. Коэффициент наклона этой прямой равен 3.

Теперь найдем производную функции f(x). Производная функции f(x) равна:

f'(x) = d/dx (x^3/3 - 3x^2 + 12x - 8) = x^2 - 6x + 12

Мы ищем точку, в которой производная равна 3, поэтому мы решаем уравнение:

x^2 - 6x + 12 = 3

Перенесем все в левую часть:

x^2 - 6x + 9 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем применить квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -6 и c = 9:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Подставим значения:

x = (6 ± √((-6)^2 - 4(1)(9))) / (2(1)) x = (6 ± √(36 - 36)) / 2 x = (6 ± √0) / 2 x = (6 ± 0) / 2 x = 3

Итак, у нас есть два решения для x: x = 3.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя функцию f(x):

y = (3^3)/3 - 3(3)^2 + 12(3) - 8 y = 27/3 - 27 + 36 - 8 y = 9 - 27 + 36 - 8 y = 10

Таким образом, касательная, параллельная заданной прямой, касается графика функции y = f(x) в точке (3, 10).