Question

Геометрический смысл производной Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 2cos2x-sin4x в точке с абсциссой x =Пи/4

Answer 1

f'(x) = -4sin2x - 4cos4x

k = f'(x₀) = - 4 · sin(2 · π/4) - 4 · cos(4 · π/4) = -4 + 4 = 0

Answer 2

Для определения геометрического смысла производной и углового коэффициента касательной к графику функции в заданной точке, мы сначала найдем производную функции f(x) = 2cos^2(x) - sin^4(x). Затем подставим x = π/4 в полученную производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx [2cos^2(x) - sin^4(x)]

Для упрощения решения воспользуемся формулами: cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2 sin^4(x) = (1 - cos(2x))^2/4

f'(x) = d/dx [(1 + cos(2x))/2 - (1 - cos(2x))^2/4]

Приведем выражение к общему знаменателю и упростим: f'(x) = d/dx [(2 + 2cos(2x) - (1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)))/4] = d/dx [(2 + 2cos(2x) - 1 + 2cos(2x) - cos^2(2x))/4] = d/dx [(3 + 4cos(2x) - cos^2(2x))/4] = (4sin(2x) - 4cos(2x)sin(2x))/4 = sin(2x) - cos(2x)sin(2x) = sin(2x)(1 - cos(2x))

2. Подставим x = π/4 в полученную производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке x = π/4: f'(π/4) = sin(2 * π/4)(1 - cos(2 * π/4)) = sin(π/2)(1 - cos(π/2)) = 1 * (1 - 0) = 1

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 2cos^2(x) - sin^4(x) в точке с абсциссой x = π/4 равен 1. Это означает, что касательная к графику в данной точке имеет угол наклона 45 градусов.