Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения первого порядка при заданных начальных условиях (х^2+1)у'+4ху=3 у(0)=0

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант.
Обратите внимание на то, что окончательный ответ будет
$y= \frac{x^3+3x}{(x^2+1)^2}$
так как у(0)=0

Answer 2

$(x^2+1)y'+4xy=3\\y=uv;y'=u'v+v'u\\(x^2+1)u'v+(x^2+1)v'u+4xuv=3\\u((x^2+1)v'+4xv)+(x^2+1)u'v=3\\\begin{cases}(x^2+1)v'+4xv=0\\(x^2+1)u'v=3\end{cases}\\\\(x^2+1)\frac{dv}{dx}+4xv=0\\(x^2+1)\frac{dv}{dx}=-4xv|*\frac{dx}{(x^2+1)v}\\\frac{dv}{v}=-4\frac{xdx}{x^2+1}\\\frac{dv}{v}=-2\frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\\\int\frac{dv}{v}=-2\int\frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\\ln|v|=-2ln|x^2+1|\\v=\frac{1}{(x^2+1)^2}\\\frac{du}{dx(x^2+1)}=3|*dx(x^2+1)\\du=3(x^2+1)\\\int du=3\int(x^2+1)\\u=x^3+3x+C\\y=\frac{x^3+3x+C}{(x^2+1)^2}\\y(0)=0:$
$0=\frac{C}{1}\\C=0\\y=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)^2}$

Answer 3

Дано дифференциальное уравнение первого порядка:

(х^2 + 1)y' + 4xy = 3

с начальным условием у(0) = 0.

Для решения этого уравнения можно использовать метод вариации постоянной. Для начала найдем общее решение однородного уравнения, игнорируя правую часть:

(х^2 + 1)y' + 4xy = 0

Для этого представим уравнение в виде:

y' + (4x / (x^2 + 1))y = 0

Обозначим (4x / (x^2 + 1)) как p(x). Тогда уравнение примет вид:

y' + p(x)y = 0

Для решения этого уравнения можно использовать метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель (M(x)) определяется следующим образом:

M(x) = exp(∫p(x)dx)

В нашем случае:

p(x) = 4x / (x^2 + 1)

∫p(x)dx = ∫(4x / (x^2 + 1))dx = 2ln(x^2 + 1)

M(x) = exp(2ln(x^2 + 1)) = (x^2 + 1)^2

Умножим исходное уравнение на M(x):

(x^2 + 1)^2y' + 4x(x^2 + 1)y = 3(x^2 + 1)^2

Теперь применим правило производной произведения для первого слагаемого:

((x^2 + 1)^2y)' + 4x(x^2 + 1)y = 3(x^2 + 1)^2

Раскроем скобки:

(x^4 + 2x^2 + 1)y' + 4x(x^2 + 1)y = 3(x^2 + 1)^2

Перепишем полученное уравнение в виде:

(x^4y)' + (2x^3y)' + y = 3(x^2 + 1)^2

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(x^4y)' dx + ∫(2x^3y)' dx + ∫y dx = ∫3(x^2 + 1)^2 dx

x^4y + 2x^3y + y = ∫3(x^4 + 2x^2 + 1)dx

x^4y + 2x^3y + y = ∫(3x^4 + 6x^2 + 3)dx

x^4y + 2x^3y + y = x^5 + 2x^3 + 3x + C

Теперь найдем значение постоянной интегрирования C, используя начальное условие у(0) = 0:

0 + 0 + 0 = 0 + 0 +